Equazione di Hagen-Poiseuille | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

Questa equazione descrive le condizioni di flusso laminare in cui il fluido si muove in strati paralleli senza interruzioni tra di essi. Relaziona la caduta di pressione lungo la lunghezza di un tubo al raggio del tubo e alla viscosità del fluido. Il risultato fornisce la velocità con cui il volume del fluido passa attraverso la sezione trasversale per unità di tempo.

When to use: Utilizzare questa equazione quando si analizza il flusso laminare di un fluido newtoniano viscoso e incomprimibile attraverso un tubo con sezione trasversale circolare costante.

Why it matters: È essenziale per comprendere il flusso sanguigno nel sistema circolatorio, progettare sistemi di lubrificazione e analizzare il flusso in dispositivi microfluidici.

Symbols

Variables

Q = Volumetric Flow Rate, R = Pipe Radius, $μ$ = Dynamic Viscosity, $P$ _1 = Inlet Pressure, $P$ _2 = Outlet Pressure

Q

Volumetric Flow Rate

m^{3} / s

R

Pipe Radius

m

μ

Dynamic Viscosity

P a \cdot s

P_{1}

Inlet Pressure

Pa

P_{2}

Outlet Pressure

Pa

Δ P

Pressure Difference

Pa

L

Pipe Length

m

Walkthrough

Derivation

Derivazione dell'equazione di Hagen-Poiseuille

Questa derivazione determina la portata volumetrica di un fluido newtoniano attraverso un tubo cilindrico integrando il profilo di velocità derivato dalle equazioni di Navier-Stokes.

Il fluido è incomprimibile e newtoniano.
Il flusso è laminare, stazionario e completamente sviluppato.
Il tubo è un cilindro dritto e rigido con sezione circolare costante.
Non c'è slittamento alle pareti del tubo.

1

Bilancio di forze su un elemento fluido

Consideriamo un elemento fluido cilindrico di raggio r e lunghezza L. Per il flusso stazionario, la forza di pressione che spinge il fluido deve essere bilanciata dalla forza di taglio che agisce sulla superficie dell'elemento.

τ (2 π r L) = (P_{1} - P_{2}) π r^{2}

Note: Questo assume che il gradiente di pressione sia costante lungo la lunghezza del tubo.

2

Espressione dello sforzo di taglio

Usando la legge della viscosità di Newton, colleghiamo lo sforzo di taglio al gradiente di velocità. Riordinando l'equazione del bilancio di forze possiamo risolvere il gradiente di velocità in funzione della caduta di pressione.

τ = - μ \frac{d v}{d r} = \frac{( P _{1} - P _{2} ) r}{2 L}

Note: Il segno negativo indica che la velocità diminuisce all'aumentare del raggio.

3

Integrazione per il profilo di velocità

Integrando il gradiente di velocità rispetto a r e applicando la condizione di non slittamento (v=0 a r=R) si ottiene il profilo di velocità parabolico.

v (r) = \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2})

Note: Questo mostra che la velocità è massima al centro del tubo (r=0).

4

Calcolo della portata volumetrica

La portata volumetrica totale Q si trova integrando il profilo di velocità su tutta l'area della sezione trasversale del tubo usando coordinate cilindriche.

Q = \int_{0}^{R} v (r) 2 π r d r

Note: Il termine 2πr dr rappresenta l'area di un sottile anello al raggio r.

5

Integrazione finale

Eseguendo l'integrazione si ottiene l'equazione finale di Hagen-Poiseuille, che collega la portata alla geometria del tubo, alla viscosità del fluido e alla caduta di pressione.

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Note: Notare la forte dipendenza dal raggio del tubo ( $R^{4}$ ).

Result

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Source: Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2002). Transport Phenomena.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}$

Viscosità dinamica

μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}

Riorganizzare l'equazione di Hagen-Poiseuille per risolvere la viscosità dinamica del fluido.

Difficulty: 3/5

Solve for $Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}$

Differenza di pressione

Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}

Riorganizza l'equazione di Hagen-Poiseuille per trovare la differenza di pressione (ΔP = P₁ - P₂) richiesta per un flusso specifico.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Il grafico mostra una relazione lineare tra portata volumetrica (Q) e differenza di pressione ($\Delta\mathcal{P}$). All'aumentare della differenza di pressione, la portata volumetrica aumenta direttamente e proporzionalmente. Per uno studente, questo significa che raddoppiare la differenza di pressione raddoppierà la portata, assumendo che gli altri fattori rimangano costanti. La caratteristica più importante è questa proporzionalità diretta, che illustra chiaramente come la pressione guidi il flusso del fluido in un tubo.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Immagina un fluido che si muove attraverso una cannuccia lunga e dritta. Il fluido vicino al centro si muove più velocemente, mentre il fluido a contatto con le pareti è fermo a causa dell'attrito (la condizione di non slittamento). Questo crea un profilo di velocità parabolico in cui il 'nucleo' del liquido scorre attraverso un manicotto di strati più lenti. Il volume totale spinto attraverso il tubo al secondo dipende fortemente da quanto è larga la cannuccia e da quanto il fluido è 'denso' o viscoso.

Q

Portata volumetrica

Il volume totale di fluido che attraversa una sezione del tubo per unità di tempo; essenzialmente quanto velocemente si riempie il 'secchio'.

R

Raggio del tubo

La distanza dal centro alla parete. Poiché è elevato alla quarta potenza, raddoppiare il raggio aumenta il flusso di 16 volte, rendendolo il fattore più sensibile nell'equazione.

µ

Viscosità dinamica

L''attrito interno' o spessore del fluido. Un'alta viscosità (come il miele) resiste al flusso più di una bassa viscosità (come l'acqua).

P1 - P2

Caduta di pressione

La 'spinta' o forza motrice. Il fluido scorre solo se esiste una differenza di pressione per superare le forze viscose resistive.

L

Lunghezza del tubo

La distanza che il fluido deve percorrere. Tubi più lunghi creano più attrito totale contro le pareti, rallentando il flusso per una data pressione.

Signs and relationships

R^4: Positivo ed esponenziale; indica che allargare il tubo riduce drasticamente la resistenza al flusso spostando più fluido lontano dalle pareti ad alto attrito.
(P1 - P2): Positivo; il flusso si muove sempre da alta pressione (P1) a bassa pressione (P2). Una differenza maggiore produce una velocità più alta.
8µL nel denominatore: Relazione inversa; aumentare la 'viscosità' o la distanza (lunghezza) aumenta la resistenza totale, diminuendo così la portata.

One free problem

Practice Problem

Calcolare la portata Q ( $m^{3}$ /s) per un fluido con viscosità dinamica 0,001 Pa·s, un raggio del tubo di 0,01 m, una lunghezza di 2 m e una differenza di pressione di 100 Pa.

Hint: Assicurarsi che la differenza di pressione sia calcolata come (P1 - P2) e che le unità siano nel sistema SI.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Nel contesto di Calcolare il volume di sangue che scorre attraverso un segmento specifico di vaso sanguigno per valutare la funzione cardiovascolare, Equazione di Hagen-Poiseuille serve a trasformare le misure in un valore interpretabile. Il risultato è importante perché aiuta a controllare dimensioni, prestazioni o margini di sicurezza di un progetto.

Study smarter

Tips

Assicurarsi che il flusso sia laminare controllando il numero di Reynolds.
Assicurarsi che il tubo sia sufficientemente lungo rispetto al suo diametro per ignorare gli effetti di ingresso.
Verificare che le unità di pressione, lunghezza e raggio siano coerenti.

Avoid these traps

Common Mistakes

Applicare l'equazione a condizioni di flusso turbolento, dove non è più valida.
Confondere il raggio del tubo con il diametro.
Non convertire le unità di viscosità, il che porta a valori di pressione o flusso errati.

Common questions

Frequently Asked Questions

Questa derivazione determina la portata volumetrica di un fluido newtoniano attraverso un tubo cilindrico integrando il profilo di velocità derivato dalle equazioni di Navier-Stokes.

Utilizzare questa equazione quando si analizza il flusso laminare di un fluido newtoniano viscoso e incomprimibile attraverso un tubo con sezione trasversale circolare costante.

È essenziale per comprendere il flusso sanguigno nel sistema circolatorio, progettare sistemi di lubrificazione e analizzare il flusso in dispositivi microfluidici.

Applicare l'equazione a condizioni di flusso turbolento, dove non è più valida. Confondere il raggio del tubo con il diametro. Non convertire le unità di viscosità, il che porta a valori di pressione o flusso errati.

Nel contesto di Calcolare il volume di sangue che scorre attraverso un segmento specifico di vaso sanguigno per valutare la funzione cardiovascolare, Equazione di Hagen-Poiseuille serve a trasformare le misure in un valore interpretabile. Il risultato è importante perché aiuta a controllare dimensioni, prestazioni o margini di sicurezza di un progetto.

Assicurarsi che il flusso sia laminare controllando il numero di Reynolds. Assicurarsi che il tubo sia sufficientemente lungo rispetto al suo diametro per ignorare gli effetti di ingresso. Verificare che le unità di pressione, lunghezza e raggio siano coerenti.

References

Sources

White, F. M. (2016). Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education.
Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Hagen–Poiseuille equation
White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
Britannica - Hagen-Poiseuille equation
Wikipedia - Hagen–Poiseuille equation