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支出関数

特定の価格において、所与の効用水準を達成するために必要な最小支出を決定する。

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e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

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Core idea

Overview

支出関数（$e(\mathbf{p}, u)$と表記）はミクロ経済学の基本的な概念であり、財の価格ベクトル（$\mathbf{p}$）が与えられたときに特定の効用水準（$u$）を達成するための最小コストを表します。これは消費者の効用最大化問題から導出され、消費者行動、厚生分析、および効用最大化と支出最小化の間の双対性を理解するために重要です。*この計算機の目的のために、基礎となる効用関数と消費バンドルは簡略化されており、価格、効用、支出を直接代数的に操作できるようになっています。*

When to use: この関数は、市場価格が与えられたときに目標の効用水準に達するための最低コストを計算する必要がある場合に適用します。これは特に厚生経済学において、生活費、補償変分、等価変分を測定したり、最適な補助金プログラムを設計するために有用です。

Why it matters: 支出関数は厚生分析の中心であり、経済学者が効用や価格の変化の金銭的価値を定量化することを可能にします。これはヒックスの補償需要関数の導出を支え、所得効果に混乱されることなく、価格変化の中で消費者がどのように支出を調整して一定の生活水準を維持するかを理解するための強力なツールを提供します。

Symbols

Variables

p = Price (simplified), u = Utility Level, x = Quantity (simplified), U = Utility Function (simplified), e = Minimum Expenditure

p

Price (simplified)

u

Utility Level

utils

x

Quantity (simplified)

units

U

Utility Function (simplified)

function

e

Minimum Expenditure

Walkthrough

Derivation

公式：支出関数

支出関数は、価格が与えられたときに特定の効用水準を達成するための最小費用を定義する。

消費者の選好は合理的、完備的、推移的、連続的、かつ局所的非飽和的である。
効用関数は連続かつ準凹である。
消費者は目標効用水準の達成を条件として費用を最小化することを目指す。

支出最小化問題を定義する：

消費者は、効用関数 $U (x)$ から少なくとも目標効用水準 $u$ を達成するという条件の下で、総支出 $p \cdot x$ を最小化するような消費バンドル $x$ を選択する。

x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

ラグランジュ関数を形成する：

ラグランジュ関数はこの制約付き最適化問題を解くために設定され、 $λ$ は効用を増加させる限界費用を表すラグランジュ乗数である。

L (x, λ) = p \cdot x - λ (U (x) - u)

一階条件（FOCs）：

一階条件は、最適点において、限界効用と価格の比率がすべての財で等しく、ラグランジュ乗数の逆数（貨幣の限界効用）に等しいことを示唆する。

\frac{\partial L}{\partial x _{i}} = p_{i} - λ \frac{\partial U}{\partial x _{i}} = 0 ⟹ p_{i} = λ M U_{i}

ヒックス需要を解く：

FOCを解くと、ヒックス（補償）需要関数が得られる。これは、各財の需要量を価格と目標効用水準の関数として示す。

x^{*} = h (p, u)

支出関数に代入する：

ヒックス需要関数を支出目的関数に再代入して、価格 $p$ のもとで効用 $u$ を達成するために必要な最小支出を求める。

e (p, u) = p \cdot h (p, u)

Result

e (p, u) = p \cdot h (p, u)

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992. Chapter 3: Consumer Choice.

Why it behaves this way

Intuition

各点が財の組み合わせを表し、その高さが総費用を表す多次元曲面を想像してください。支出関数は、この費用曲面上で依然として効用を満たす最低点を見つける。

e (p, u)

特定の効用レベルを達成するために必要な最小総支出。

それは、現在の市場価格のもとで望ましい満足度に達するための絶対的に最も安い方法を示す。

p

利用可能なすべての財の市場価格を表すベクトル。

How much each individual item costs.

u

消費者が達成したい特定の目標効用または満足度の水準。

望ましい『幸福』または厚生の量。

x

消費される様々な財の数量を表すベクトル。

消費者が購入する特定の財のショッピングバスケット。

p \cdot x

消費バンドル\mathbf{x}の総貨幣費用。すべての財について（財iの価格×財iの数量）の和として計算される。

特定の購入セットに対するレジでの合計請求額。

U (x)

効用関数。特定の財のバンドル\mathbf{x}を消費することから得られる総満足度または厚生を定量化する。

特定のショッピングバスケットからどれだけの満足を得られるか。

min_{x}

最適な消費バンドル\mathbf{x}を選択することにより、目的関数（総支出）の最小値を求める数学的操作。

あなたは自分のニーズを満たすために、絶対的に最も安い方法を積極的に探しています。

U (x) \geq u

選択された消費バンドル \mathbf{x} が少なくとも目標効用レベル u を提供することを保証する制約。

購入から得られる満足度は、希望する幸福のレベル以上でなければなりません。

Free study cues

Insight

Canonical usage

支出と価格は一貫した貨幣単位で表され、効用は通常、順序的で単位を持たない尺度として扱われます。

Dimension note

効用水準（u）および効用関数（U(x)）の出力は、通常、無次元または任意単位（「utils」）が割り当てられたものと見なされます。

One free problem

Practice Problem

簡略化された支出モデル $e = p \cdot u$ を用いて、財の価格が1単位あたり $p = 12$ で、目標効用水準が $u = 50$ の場合、必要な最小支出はいくらですか？

Hint: 価格に効用水準を掛けます。つまり $e = p \cdot u$ を使います。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

政府が低所得世帯の一定の生活水準を維持するための費用を計算し、貧困緩和政策に情報を提供するために使用されます。

Study smarter

Tips

支出関数は価格が上がると下がらず、効用が上がると増加します。
価格について凹関数であり、消費者が相対的に高い財から代替できることを反映します。
シェファードの補題では、ある財のヒックス需要は支出関数をその財の価格で偏微分したものです。
支出関数は価格に関して一次同次であり、すべての価格が2倍になると最小支出も2倍になります。

Avoid these traps

Common Mistakes

支出関数と間接効用関数を混同してしまうこと（両者は逆の関係です）。
関数を導出または適用する際に、特定の効用関数を誤って仮定すること。
「最小化」演算子を最適化問題ではなく単純な代数計算として誤解すること。

Common questions

Frequently Asked Questions

支出関数は、価格が与えられたときに特定の効用水準を達成するための最小費用を定義する。

この関数は、市場価格が与えられたときに目標の効用水準に達するための最低コストを計算する必要がある場合に適用します。これは特に厚生経済学において、生活費、補償変分、等価変分を測定したり、最適な補助金プログラムを設計するために有用です。

支出関数は厚生分析の中心であり、経済学者が効用や価格の変化の金銭的価値を定量化することを可能にします。これはヒックスの補償需要関数の導出を支え、所得効果に混乱されることなく、価格変化の中で消費者がどのように支出を調整して一定の生活水準を維持するかを理解するための強力なツールを提供します。

支出関数と間接効用関数を混同してしまうこと（両者は逆の関係です）。関数を導出または適用する際に、特定の効用関数を誤って仮定すること。「最小化」演算子を最適化問題ではなく単純な代数計算として誤解すること。