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AK成長モデル

AKモデルにおける一人当たり産出量の長期成長率を計算します。

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g = A δ - n

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Core idea

Overview

AK成長モデルは、内生的成長理論における基本的なモデルであり、外生的な技術進歩に依存せずに持続的な経済成長を説明します。これは、総生産関数が資本に関して規模に関して収穫一定を示し、資本蓄積だけで長期的な成長を促進できることを前提としています。この式は、技術水準、資本の生産性、および人口成長に基づいて一人当たり成長率を決定します。

When to use: この式は、資本蓄積が収穫逓減に直面しないモデルにおける長期的な経済成長を分析する際に適用します。これは、技術（A）や資本の生産性（$\delta$）に影響を与える政策介入が持続的な成長率にどのように影響するか、または人口成長（n）が一人当たり成長にどのように影響するかを理解するために特に関連があります。

Why it matters: AKモデルは、外生的な技術進歩に依存していた初期のモデル（例：ソロー＝スワンモデル）とは異なり、経済成長に対する内生的な説明を提供するため重要です。これは、持続的な発展を促進する上での人的資本、研究開発、およびインフラの重要性を強調し、イノベーションと投資に関する政策議論に影響を与えます。

Symbols

Variables

A = Technology Level, $δ$ = Capital Share/Productivity, n = Population Growth Rate, g = Growth Rate of Output per Capita

A

Technology Level

dimensionless

δ

Capital Share/Productivity

dimensionless

n

Population Growth Rate

% / year

g

Growth Rate of Output per Capita

% / year

Walkthrough

Derivation

公式：AK成長モデル

AK成長モデルは、資本に対する収穫一定を仮定し、長期の経済成長率を技術、資本の生産性、人口増加の関数として記述します。

総生産関数は資本に関して線形です： $Y = A K$ 。ここで、 $Y$ は生産量、 $A$ は定数の技術パラメータ、 $K$ は資本です。
資本に対して収穫逓減はなく、持続的な成長が可能となる。
生産額の一定割合が貯蓄され投資されます： $I = s Y$ 。ここで、 $s$ は貯蓄率です。
資本は一定の割合 $δ_{K}$ で減価償却されます。

資本蓄積方程式から始める：

資本ストックの変化（ $\dot{K}$ ）は、投資（ $s Y$ ）から資本減耗（ $δ_{K} K$ ）を引いたものに等しい。ここで、 $δ_{K}$ は資本の減耗率である。

\dot{K} = s Y - δ_{K} K

AK生産関数を代入する：

AK生産関数から $Y$ を $A K$ に置き換えます。これにより、資本に対する収穫一定が強調されます。

\dot{K} = s (A K) - δ_{K} K

資本成長率で表現する：

両辺を $K$ で割ると、総資本ストックの成長率が得られます。これは、資本成長率が一定であることを示しています。

\frac{K ˙}{K} = s A - δ_{K}

一人当たり産出成長率の導出：

一人当たり産出の成長率（ $g$ ）は、おおよそ一人当たり資本の成長率（ $\dot{k} / k$ ）に等しく、これは総資本の成長率（ $\dot{K} / K$ ）から人口成長率（ $n$ ）を引いたものです。

g = \frac{y ˙}{y} = \frac{k ˙}{k} = \frac{K ˙}{K} - n

Note: AKモデルでは、一人当たり産出（ $y$ ）と一人当たり資本（ $k$ ）は、 $y = A k$ のために同じ率で成長します。

最終的なAK成長率の式：

資本成長率を一人当たり成長率の式に代入します。簡単のため、項 $s A - δ_{K}$ はしばしば単一のパラメータ、例えば $A_{e f f}$ に集約されるか、問題文の式における資本シェア $δ$ は暗黙的に $s A - δ_{K}$ となります。 $A δ$ を減価償却後の実効資本収益率と解釈すると、 $g = A δ - n$ が最終形になります。

g = s A - δ_{K} - n

Result

g = s A - δ_{K} - n

Source: Romer, D. - Advanced Macroeconomics, Chapter 2 (Endogenous Growth Theory)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $A$

AK成長モデル：Aを目的の変数にする

A = \frac{g + n}{δ}

AK成長モデルの公式において $A$ （技術水準）を目的の変数とするには、一人当たり成長率（ $g$ ）に人口増加率（ $n$ ）を加え、その後資本分配率（ $δ$ ）で割ります。

Difficulty: 2/5

Solve for $δ$

AK成長モデル： $δ$ を目的の変数にする

δ = \frac{g + n}{A}

AK成長モデルの式で $δ$ （資本分配率/生産性）を主語にするには、一人当たり成長率（ $g$ ）に人口成長率（ $n$ ）を加え、技術水準（ $A$ ）で割ります。

Difficulty: 2/5

Solve for $n$

AK成長モデル：nを主語にする

n = A δ - g

AK成長モデルの式で $n$ （人口成長率）を主語にするには、技術水準（ $A$ ）と資本分配率（ $δ$ ）の積から一人当たり成長率（ $g$ ）を引きます。

Difficulty: 2/5

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Visual intuition

Graph

グラフは正の傾きを持つ線形関数であり、技術水準が向上するにつれて一人当たり産出の成長率が一定の割合で増加することを意味する。経済学を学ぶ学生にとって、この関係は、初期の技術水準が高いか低いかにかかわらず、技術の小さな改善でさえ長期成長において予測可能で比例的な利益をもたらすことを示唆する。この曲線の最も重要な特徴はその一定の傾きであり、技術進歩が経済成長に与える影響がすべての発展段階で均一であることを示している。

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

資本（人的資本や技術を広く含む）への投資が減少することなく継続的に収益を生み出し、一人当たり産出を押し上げる自己強化サイクル。

g

一人当たり産出の長期成長率。

平均的な個人の経済的産出または所得が時間とともにどれだけ速く増加するか。

A

経済における技術水準または全要素生産性。

より高い'A'は、経済が所与の資本量からより多くの産出を生産できることを意味し、より良い知識、革新、または効率を反映しています。

δ

AKモデルにおける資本の生産性または資本投資の定常収益率を表すパラメータ。

各資本単位が産出にどれだけ効果的に貢献するか。より高い'

δ

'は資本がより生産的であることを意味します。

n

一定の人口成長率。

経済における人口がどれだけ速く増加しているか。

Signs and relationships

A δ: この積は、資本蓄積と技術の総産出成長率への貢献を表しています。より高い技術（A）とより生産的な資本（ $δ$ ）の両方が
- n: 人口増加は総産出をより多くの個人に薄める。一人当たり産出を維持または増加させるには、総経済が人口より速く成長しなければならず、そうでなければ一人当たり産出は減少する。

Free study cues

Insight

Canonical usage

方程式内のすべての項は率を表し、一貫した逆時間の単位（例：年あたり）を持ち、計算では小数形式で使用されなければなりません。

One free problem

Practice Problem

AK成長モデルに従う経済は、技術水準(A)が0.3、生産における資本シェア（ $δ$ ）が0.2、人口成長率(n)が0.01です。一人当たり産出量の成長率(g)を計算してください。

Hint: 値を直接公式 g = A $δ$ - n に代入してください。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

教育と研究開発への投資（これらは「A」または「$\delta$」を増加させる）が、発展途上国における持続的な経済成長につながる方法を分析すること。

Study smarter

Tips

'A'（技術水準）と ' $δ$ '（資本分配率/生産性）が正であることを確認してください。
'A' または ' $δ$ ' が高いほど、成長率は高くなります。
'n'（人口増加率）が高いほど、1人あたり成長率は低下します。
このモデルは資本について規模に関して収穫一定を仮定しており、これは新古典派モデルとの重要な違いです。

Avoid these traps

Common Mistakes

AKモデルをソロー・スワンモデルと混同すること、特に資本収益に関して。
「A」を、内生的成長におけるその広範な役割を考慮せずに全要素生産性と誤って解釈すること。

Common questions

Frequently Asked Questions

AK成長モデルは、資本に対する収穫一定を仮定し、長期の経済成長率を技術、資本の生産性、人口増加の関数として記述します。

この式は、資本蓄積が収穫逓減に直面しないモデルにおける長期的な経済成長を分析する際に適用します。これは、技術（A）や資本の生産性（$\delta$）に影響を与える政策介入が持続的な成長率にどのように影響するか、または人口成長（n）が一人当たり成長にどのように影響するかを理解するために特に関連があります。

AKモデルは、外生的な技術進歩に依存していた初期のモデル（例：ソロー＝スワンモデル）とは異なり、経済成長に対する内生的な説明を提供するため重要です。これは、持続的な発展を促進する上での人的資本、研究開発、およびインフラの重要性を強調し、イノベーションと投資に関する政策議論に影響を与えます。

AKモデルをソロー・スワンモデルと混同すること、特に資本収益に関して。「A」を、内生的成長におけるその広範な役割を考慮せずに全要素生産性と誤って解釈すること。

'A'（技術水準）と '$\delta$'（資本分配率/生産性）が正であることを確認してください。 'A' または '$\delta$' が高いほど、成長率は高くなります。 'n'（人口増加率）が高いほど、1人あたり成長率は低下します。このモデルは資本について規模に関して収穫一定を仮定しており、これは新古典派モデルとの重要な違いです。

References

Sources

Economic Growth by David Romer, 4th Edition, W. W. Norton & Company
Macroeconomics by N. Gregory Mankiw, 10th Edition, Worth Publishers
Wikipedia: AK model
Romer, David. Advanced Macroeconomics. 5th ed. McGraw-Hill, 2018.
Mankiw, N. Gregory. Macroeconomics. 10th ed. Worth Publishers, 2019.
Barro, Robert J. Macroeconomics: A Modern Approach. 2nd ed. South-Western Cengage Learning, 2008.
Romer, D. - Advanced Macroeconomics, Chapter 2 (Endogenous Growth Theory)

AK成長モデル

Overview

Variables

Derivation

資本蓄積方程式から始める：

AK生産関数を代入する：

資本成長率で表現する：

一人当たり産出成長率の導出：

最終的なAK成長率の式：

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Frequently Asked Questions

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