ハーゲン・ポアズイユ方程式 | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

この式は、流体が平行な層をなし、それらの間の乱れがない層流条件を記述する。管の長さにわたる圧力降下を管半径と流体の粘度に関連付ける。結果は、単位時間あたりに流体体積が断面を通過する速度を提供する。

When to use: この式は、一定の円形断面を持つ管を通る粘性、非圧縮性ニュートン流体の層流を解析する際に使用する。

Why it matters: これは、循環系の血流の理解、潤滑システムの設計、マイクロ流体デバイス内の流れの解析に不可欠である。

Symbols

Variables

Q = Volumetric Flow Rate, R = Pipe Radius, $μ$ = Dynamic Viscosity, $P$ _1 = Inlet Pressure, $P$ _2 = Outlet Pressure

Q

Volumetric Flow Rate

m^{3} / s

R

Pipe Radius

m

μ

Dynamic Viscosity

P a \cdot s

P_{1}

Inlet Pressure

Pa

P_{2}

Outlet Pressure

Pa

Δ P

Pressure Difference

Pa

L

Pipe Length

m

Walkthrough

Derivation

ハーゲン・ポアズイユ方程式の導出

この導出では、ナビエ・ストークス方程式から導かれた速度分布を積分することにより、円筒管内のニュートン流体の体積流量を決定します。

流体は非圧縮性でニュートン流体である。
流れは層流、定常、完全に発達している。
管はまっすぐで剛性のある円筒で、円形断面が一定である。

1

流体要素にかかる力の釣り合い

半径r、長さLの円筒状の流体要素を考える。定常流では、流体を押す圧力は、要素の表面に作用するせん断応力と釣り合わなければならない。

τ (2 π r L) = (P_{1} - P_{2}) π r^{2}

Note: これは、圧力勾配が管の長さに沿って一定であることを仮定している。

2

せん断応力の表現

ニュートンの粘性法則を用いて、せん断応力を速度勾配に関連付ける。力の釣り合い式を整理することで、圧力降下に関して速度勾配を解くことができる。

τ = - μ \frac{d v}{d r} = \frac{( P _{1} - P _{2} ) r}{2 L}

Note: 負の符号は、半径が増加するにつれて速度が減少することを示している。

3

速度分布の積分

速度勾配をrについて積分し、すべりなし境界条件（r=Rでv=0）を適用すると、放物線速度分布が得られる。

v (r) = \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2})

Note: これは、速度が管の中心（r=0）で最大であることを示している。

4

体積流量の計算

総体積流量Qは、速度分布を管の全断面積にわたって円筒座標を用いて積分することにより求められる。

Q = \int_{0}^{R} v (r) 2 π r d r

Note: 2πr drという項は、半径rにおける薄い環の面積を表す。

5

最終積分

積分を実行すると、最終的なハーゲン・ポアズイユ方程式が得られ、流量を管の形状、流体の粘度、圧力降下に関連付ける。

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Note: 管の半径（ $R^{4}$ ）への強い依存性に注意せよ。

Result

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Source: Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2002). Transport Phenomena.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}$

動的粘度

μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}

ハーゲン・ポアズイユ方程式を整理して流体の動粘度を求めなさい。

Difficulty: 3/5

Solve for $Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}$

圧力差

Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}

ハーゲン・ポアズイユ方程式を整理して、特定の流量に必要な圧力差 (ΔP = P₁ - P₂) を求めなさい。

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

グラフは、体積流量（Q）と圧力差（$\Delta\mathcal{P}$）の間に線形関係があることを示しています。圧力差が増加すると、体積流量は直接かつ比例して増加します。学生にとっては、他の要因が一定であれば、圧力差を2倍にすると流量も2倍になることを意味します。最も重要な特徴はこの直接比例関係であり、圧力が配管内の流体の流れをどのように駆動するかを明確に示しています。

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

長くまっすぐなストローを流体が移動する様子を想像してみてほしい。中心付近の流体は最も速く移動する一方、壁に接する流体は摩擦（すべりなし条件）により静止している。これにより、液体の「コア」がより遅い層のスリーブをすり抜けるような放物線速度分布が生じる。毎秒押し出される総体積は、ストローの幅と流体の「厚さ」または粘り気の感じ方に大きく依存する。

Q

体積流量

単位時間あたりに管の断面を通過する流体の総体積。基本的には「バケツ」がどれだけ速く満たされるかを表す。

R

Pipe Radius

中心から壁までの距離。これが4乗されているため、半径を2倍にすると流量は16倍になり、方程式の中で最も感度の高い因子となる。

µ

動的粘度

流体の「内部摩擦」または厚さ。高い粘度（はちみつのような）は低い粘度（水のような）よりも流れを妨げる。

P1 - P2

圧力降下

「押し」または駆動力。流体は、抵抗性の粘性力を克服するための圧力差がある場合にのみ流れます。

L

Pipe Length

流体が移動しなければならない距離。配管が長いと壁面との総摩擦が大きくなり、所定の圧力に対して流量が減少します。

Signs and relationships

R^4: 正かつ指数関数的。これは、配管を広げることで、より多くの流体を高摩擦の壁から遠ざけることにより、流れに対する抵抗が劇的に減少することを意味します。
(P1 - P2): 正。流れは常に高圧（P1）から低圧（P2）へ移動します。差が大きいほど流速が高くなります。
分母の8µL: 逆関係。「粘り気」（粘度）または距離（長さ）を増加させると総抵抗が増加し、それによって流量が減少します。

One free problem

Practice Problem

動粘度0.001 Pa·s、管半径0.01 m、長さ2 m、圧力差100 Paの流体について流量Q（ $m^{3}$ /s）を計算せよ。

Hint: 圧力差が(P1 - P2)として計算され、単位がSIであることを確認せよ。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

ハーゲン・ポアズイユ方程式は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。

Study smarter

Tips

Reynolds 数を確認して、流れが層流であることを確かめてください。
入口効果を無視するため、管が直径に対して十分に長いことを確認してください。
圧力、長さ、半径の単位が一貫していることを確認してください。

Avoid these traps

Common Mistakes

この方程式がもはや成り立たない乱流条件にそれを適用すること。
管の半径と直径を混同しないでください。
粘度の単位換算を怠り、誤った圧力や流量の値になること。

Common questions

Frequently Asked Questions

この導出では、ナビエ・ストークス方程式から導かれた速度分布を積分することにより、円筒管内のニュートン流体の体積流量を決定します。

この式は、一定の円形断面を持つ管を通る粘性、非圧縮性ニュートン流体の層流を解析する際に使用する。

これは、循環系の血流の理解、潤滑システムの設計、マイクロ流体デバイス内の流れの解析に不可欠である。

この方程式がもはや成り立たない乱流条件にそれを適用すること。管の半径と直径を混同しないでください。粘度の単位換算を怠り、誤った圧力や流量の値になること。

ハーゲン・ポアズイユ方程式は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。

Reynolds 数を確認して、流れが層流であることを確かめてください。入口効果を無視するため、管が直径に対して十分に長いことを確認してください。圧力、長さ、半径の単位が一貫していることを確認してください。

References

Sources

White, F. M. (2016). Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education.
Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Hagen–Poiseuille equation
White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
Britannica - Hagen-Poiseuille equation
Wikipedia - Hagen–Poiseuille equation