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간접 효용 함수

주어진 가격과 소득 하에서 소비자가 달성할 수 있는 최대 효용을 계산합니다.

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v (p, m) = x max {U (x) ∣ p \cdot x \leq m}

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Core idea

Overview

$v(\mathbf{p}, m)$로 표시되는 간접 효용 함수는 상품 가격 집합($\mathbf{p}$)과 총 소득($m$)이 주어졌을 때 개인이 달성할 수 있는 최고 효용 수준을 나타냅니다. 이는 소비자가 예산 제약($\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \le m$) 하에서 직접 효용 함수($U(\mathbf{x})$)를 극대화하기 위해 소비 묶음($\mathbf{x}$)을 선택하는 효용 극대화 문제를 풀어 도출됩니다. 이 함수는 가격과 소득의 변화가 소비자의 후생에 미치는 영향을 분석하는 데 중요합니다.

When to use: 이 방정식은 특정 시장 가격과 예산이 주어졌을 때 소비자가 달성할 수 있는 최대 효용을 결정해야 할 때 사용됩니다. 이는 후생 분석, 다양한 경제 조건에서의 소비자 후생 비교, 또는 정책 변화(예: 세금 또는 보조금)가 구매력에 미치는 영향을 평가하는 데 특히 유용합니다.

Why it matters: 간접 효용 함수는 미시경제학에서 소비자 행동과 후생을 이해하는 데 기본적입니다. 이는 시장 조건(가격과 소득)과 소비자의 효용 사이의 직접적인 연결을 제공하여 경제학자들이 수요 이론을 분석하고, 보상 수요 함수를 도출하며, 가격 변화의 실질 소득 효과를 평가할 수 있게 합니다.

Symbols

Variables

$p$ = Price Vector, m = Income, v = Indirect Utility

p

Price Vector

$/unit

m

Income

v

Indirect Utility

utils

Walkthrough

Derivation

공식: 간접 효용 함수

간접 효용 함수는 소비자의 효용 극대화 문제를 풀고 최적 소비 묶음을 직접 효용 함수에 대입하여 도출됩니다.

소비자는 합리적이며 효용을 극대화하려고 합니다.
가격( $p$ )과 소득( $m$ )은 외생적이며 고정되어 있습니다.
효용 함수 $U (x)$ 는 잘 작동합니다(예: 연속적, 엄격 준오목).
예산 제약은 구속적입니다(소비자는 모든 소득을 지출합니다).

소비자의 문제 정의:

소비자는 가격 벡터 $p$ 와 소득 $m$ 가 주어진 상태에서 소비 묶음 $x$ 을 선택하여 직접 효용 $U (x)$ 을 극대화하려고 합니다. 예산 제약은 총 지출이 소득을 초과할 수 없다고 명시합니다.

x max U (x) subject to p \cdot x \leq m

마셜 수요 함수 도출:

효용 극대화 문제를 풀어(예: 라그랑주 방법 사용) 최적 소비 묶음 $x^{*}$ 을 찾습니다. 마셜 수요 함수로 알려진 이러한 최적 수량은 각 재화에 대한 수요를 가격과 소득의 함수로 표현합니다.

x^{*} (p, m)

Note: Cobb-Douglas 효용 함수 $U (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{a} x_{2}^{b}$ 에 대해, Marshallian 수요는 $x_{1}^{*} = \frac{a}{a + b} \frac{m}{p _{1}}$ 및 $x_{2}^{*} = \frac{b}{a + b} \frac{m}{p _{2}}$ 입니다.

수요를 효용 함수에 대입:

도출된 Marshallian 수요 함수 $x^{*} (p, m)$ 을 원래의 직접 효용 함수 $U (x)$ 에 다시 대입합니다. 이는 가격과 소득만의 함수로 달성 가능한 최대 효용을 표현하는 간접 효용 함수를 도출합니다.

v (p, m) = U (x^{*} (p, m))

Result

v (p, m) = U (x^{*} (p, m))

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company, 3rd ed., 1992, Chapter 7.

Why it behaves this way

Intuition

소비자가 재화 공간에서 예산선으로 정의된 실현 가능 영역으로 제한되어 자신의 효용 표면상의 최고점을 찾는 모습.

v(p, m)

소비자가 달성할 수 있는 최대 효용

소비자가 주어진 예산과 시장 가격 하에서 얻을 수 있는 최고 만족도

p

모든 재화의 시장 가격 벡터

구매 가능한 각 상품의 비용

m

소비자의 총 가용 소득 또는 예산

소비자가 지출할 수 있는 총 금액

x

소비 묶음 내 재화 수량을 나타내는 벡터

소비자가 구매하기로 선택한 특정 상품 조합.

U(x)

소비 묶음의 만족도를 정량화하는 직접 효용 함수

특정 재화 집합이 제공하는 행복의 정도를 측정하는 지표

max

집합 내에서 가장 큰 값을 찾는 수학적 연산

절대적으로 최상의 결과를 추구하는 행위

p \cdot x \leq m

예산 제약: 총 지출이 소득을 초과하지 않도록 보장함

지출이 가용한 돈을 초과할 수 없다는 규칙

Free study cues

Insight

Canonical usage

이 방정식은 가격과 소득에 대한 화폐 단위, 재화에 대한 특정 수량 단위, 그리고 효용에 대한 무차원 또는 단위 없는 척도를 포함합니다. 화폐 단위의 일관성이 가장 중요합니다.

Dimension note

효용함수(U 및 v)는 본질적으로 무차원 또는 단위 없는 것으로, 물리적 측정값이 아니라 선호의 서수적 또는 기수적 순위를 나타냅니다.

One free problem

Practice Problem

한 소비자의 효용 함수가 $U (x_{1}, x_{2}) = x_{1} x_{2}$ 입니다. 재화의 가격은 $p_{1} = 2$ 과 $p_{2} = 4$ 이고, 소비자의 소득은 $m = 100$ 입니다. 이 소비자의 간접 효용 함수 값을 계산하세요.

Hint: 힌트: 먼저 $x_{1}$ 과 $x_{2}$ 에 대한 마셜 수요 함수를 찾은 다음 이를 효용 함수에 대입하세요.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

식품 가격 상승($\mathbf{p}$의 일부)이 고정 소득($m$) 하에서 가구의 전반적인 만족도(효용)에 미치는 영향을 평가.

Study smarter

Tips

$v (p, m)$ 는 소비묶음이 아니라 가격과 소득의 함수라는 점을 기억하세요.
Indirect Utility Function 은 가격에 대해 비증가이고 소득에 대해 비감소입니다.
이는 가격과 소득에 대해 0차 동차입니다(둘 다 두 배가 되어도 효용은 변하지 않습니다).
이를 도출하려면 먼저 효용극대화 문제를 풀어 Marshallian demand functions 를 구한 뒤, 이를 직접효용함수 $U (x)$ 에 대입합니다.
특정 효용함수(예: Cobb-Douglas)에는 $v (p, m)$ 에 대한 알려진 폐쇄형 해가 있습니다.

Avoid these traps

Common Mistakes

간접 효용 함수를 직접 효용 함수 $U (x)$ 와 혼동하는 것.
소비 묶음 $x$ 을 $v (p, m)$ 의 인수로 포함하려고 시도하는 것.
기저의 효용 극대화 문제를 잘못 풀어 부정확한 $v (p, m)$ 을 초래하는 것.

Common questions

Frequently Asked Questions

간접 효용 함수는 소비자의 효용 극대화 문제를 풀고 최적 소비 묶음을 직접 효용 함수에 대입하여 도출됩니다.

이 방정식은 특정 시장 가격과 예산이 주어졌을 때 소비자가 달성할 수 있는 최대 효용을 결정해야 할 때 사용됩니다. 이는 후생 분석, 다양한 경제 조건에서의 소비자 후생 비교, 또는 정책 변화(예: 세금 또는 보조금)가 구매력에 미치는 영향을 평가하는 데 특히 유용합니다.

간접 효용 함수는 미시경제학에서 소비자 행동과 후생을 이해하는 데 기본적입니다. 이는 시장 조건(가격과 소득)과 소비자의 효용 사이의 직접적인 연결을 제공하여 경제학자들이 수요 이론을 분석하고, 보상 수요 함수를 도출하며, 가격 변화의 실질 소득 효과를 평가할 수 있게 합니다.

간접 효용 함수를 직접 효용 함수 $U(\mathbf{x})$와 혼동하는 것. 소비 묶음 $\mathbf{x}$을 $v(\mathbf{p}, m)$의 인수로 포함하려고 시도하는 것. 기저의 효용 극대화 문제를 잘못 풀어 부정확한 $v(\mathbf{p}, m)$을 초래하는 것.

식품 가격 상승($\mathbf{p}$의 일부)이 고정 소득($m$) 하에서 가구의 전반적인 만족도(효용)에 미치는 영향을 평가.

$v(\mathbf{p}, m)$ 는 소비묶음이 아니라 가격과 소득의 함수라는 점을 기억하세요. Indirect Utility Function 은 가격에 대해 비증가이고 소득에 대해 비감소입니다. 이는 가격과 소득에 대해 0차 동차입니다(둘 다 두 배가 되어도 효용은 변하지 않습니다). 이를 도출하려면 먼저 효용극대화 문제를 풀어 Marshallian demand functions 를 구한 뒤, 이를 직접효용함수 $U(\mathbf{x})$ 에 대입합니다. 특정 효용함수(예: Cobb-Douglas)에는 $v(\mathbf{p}, m)$ 에 대한 알려진 폐쇄형 해가 있습니다.

References

Sources

Microeconomic Theory by Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green
Microeconomics by Hal R. Varian
Wikipedia: Indirect utility function
Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992.
Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995.
Hal R. Varian, Microeconomic Analysis
Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green, Microeconomic Theory
Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company, 3rd ed., 1992, Chapter 7.