Função de Demanda Compensada (Hicksiana)

Core idea

Overview

A Função de Demanda Compensada (Hicksiana), derivada do Lema de Shephard, descreve a quantidade de um bem que um consumidor demandaria para atingir um nível de utilidade específico, assumindo que sua renda é 'compensada' por mudanças nos preços. Ao contrário da demanda Marshalliana, a demanda Hicksiana isola o efeito de substituição mantendo a utilidade constante, tornando-a um conceito crucial na economia do bem-estar para analisar o verdadeiro custo de vida e o impacto das mudanças de preços no bem-estar do consumidor, livre de efeitos de renda.

When to use: Esta fórmula é usada em microeconomia para derivar a função de demanda hicksiana por um bem quando a função de despesa é conhecida. É essencial para analisar o comportamento do consumidor sob a suposição de utilidade constante, particularmente ao separar os efeitos de substituição dos efeitos de renda de mudanças de preço, ou para análise de bem-estar.

Why it matters: Compreender a demanda hicksiana é fundamental para a teoria avançada do consumidor e a economia do bem-estar. Ela permite que os economistas meçam com precisão o impacto no bem-estar das mudanças de preços (por exemplo, usando variação compensatória ou variação equivalente) e construam índices de custo de vida verdadeiros, fornecendo uma imagem mais precisa do bem-estar do consumidor do que a demanda marshalliana padrão.

Symbols

Variables

$p$ = Price Vector, u = Utility Level, e = Expenditure Function, $p_{i}$ = Price of Good i, $h_{i}$ = Hicksian Demand for Good i

p

Price Vector

currency/unit

u

Utility Level

utils

e

Expenditure Function

currency

p_{i}

Price of Good i

currency/unit

h_{i}

Hicksian Demand for Good i

units

Walkthrough

Derivation

Fórmula: Demanda Compensada (Hicksiana) (Lema de Shephard)

A demanda Hicksiana por um bem é encontrada calculando a derivada parcial da função de despesa em relação ao preço desse bem.

As preferências do consumidor são racionais, completas e transitivas.
A função de despesa $e (p, u)$ é diferenciável em relação aos preços.
O consumidor minimiza a despesa para atingir um determinado nível de utilidade $u$ .

1

Definir a Função de Despesa:

A função de despesa $e (p, u)$ representa a despesa mínima necessária para atingir um nível de utilidade $u$ dado um vetor de preços $p$ para os bens $x$ . Este é um problema de otimização restrita.

e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

2

Aplicar o Teorema do Envelopamento (Lema de Shephard):

De acordo com o Lema de Shephard, que é uma aplicação direta do Teorema do Envelopamento, a derivada parcial da função de despesa em relação ao preço do bem $i$ ( $p_{i}$ ) fornece a função de demanda Hicksiana (compensada) para o bem $i$ , $h_{i} (p, u)$ . Isso significa que a quantidade do bem $i$ demandada para manter um nível de utilidade constante $u$ é precisamente a taxa na qual a despesa mínima muda em relação a $p_{i}$ .

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Result

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Source: Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $p$

Demanda Hicksiana: Isolar $p$

No direct algebraic rearrangement for p

Tornar $p$ (vetor de preço) o sujeito da função de demanda Hicksiana geralmente não é possível por meio de um simples rearranjo algébrico, pois está embutido em uma derivada parcial e na função de despesa.

Difficulty: 4/5

Solve for $u$

Demanda Hicksiana: Isolar $u$

No direct algebraic rearrangement for u

Tornar $u$ (nível de utilidade) o sujeito da função de demanda Hicksiana geralmente não é possível por meio de um simples rearranjo algébrico, pois é uma entrada para a função de despesa e a derivada.

Difficulty: 4/5

Solve for $e$

Demanda Hicksiana: Isolar $e$

e (p, u) = \int h_{i} (p, u) d p_{i} + C (p_{- i}, u)

Tornar $e (p, u)$ (função de despesa) o assunto requer a integração da função de demanda Hicksiana, que é a operação inversa da diferenciação, não um simples rearranjo algébrico.

Difficulty: 4/5

Solve for $p_{i}$

Demanda Hicksiana: Isolar $p_{i}$

No direct algebraic rearrangement for p_{i}

Tornar $p_{i}$ (preço do bem i) o sujeito da função de demanda Hicksiana geralmente não é possível por meio de um simples rearranjo algébrico, pois é a variável de diferenciação e uma entrada para a função de despesa.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imagine um consumidor tentando permanecer em uma 'linha de felicidade' específica (curva de indiferença) em um mapa de escolhas de consumo. A demanda Hicksiana por um bem mostra quanta parte desse bem ele compraria a diferentes

Term

A demanda Hicksiana (compensada) pelo bem i, representando a quantidade do bem i que um consumidor compraria para atingir um nível de utilidade específico u, dado um vetor de preços p

Quanto do bem i você compraria se sua renda fosse perfeitamente ajustada para manter sua felicidade (utilidade) exatamente a mesma, não importa como os preços mudem. Ele isola o puro 'efeito substituição' de uma mudança de preço.

Term

A função de despesa, que é o gasto total mínimo (custo) necessário para um consumidor atingir um nível de utilidade específico u ao enfrentar um dado vetor de preços p para todos

A menor quantia de dinheiro que você precisa gastar para atingir um nível fixo de satisfação ou bem-estar, considerando todos os preços atuais.

Term

O preço de mercado por unidade do bem i.

O custo de comprar uma unidade do bem i no mercado.

Term

Um nível específico e fixo de utilidade (satisfação ou bem-estar) que o consumidor assume manter.

Um 'alvo de felicidade' constante que o consumidor visa atingir, independentemente das mudanças de preço.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Esta equação é usada para garantir consistência dimensional, em que a demanda Hicksiana por um bem, representando uma quantidade, é derivada da derivada parcial da função dispêndio (unidades monetárias).

One free problem

Practice Problem

Dada uma função de despesa $e (p, u) = u p_{1} p_{2}$ , onde $p_{1}$ e $p_{2}$ são os preços de dois bens e $u$ é o nível de utilidade. Derive a função de demanda hicksiana para o bem 1, $h_{1} (p, u)$ .

Hint: Aplique a regra da derivada parcial: $\frac{\partial}{\partial x} (a x^{n}) = an x^{n - 1}$ e a regra da cadeia, se necessário.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No contexto de compensated demand for gasoline to maintain a certain lifestyle utility despite fuel price fluctuations, Compensated (Hicksian) Demand Function é utilizado para calcular Hicksian Demand for Good i from Price Vector, Utility Level, and Expenditure Function. O resultado importa porque ajuda a interpretar a taxa de variação local, a direção ou o efeito marginal na situação original.

Study smarter

Tips

Lembre-se de que a demanda hicksiana mantém a utilidade ( $u$ ) constante, não a renda.
A função de despesa $e (p, u)$ fornece o custo mínimo para atingir a utilidade $u$ aos preços $p$ .
A derivada parcial $\frac{\partial e}{\partial p _{i}}$ significa diferenciar $e$ em relação a $p_{i}$ , tratando todos os outros preços e $u$ como constantes.
Esta relação é conhecida como Lema de Shephard.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confundir demanda hicksiana com demanda marshalliana (que mantém a renda constante).
Realizar incorretamente a diferenciação parcial, especialmente com múltiplas variáveis de preço.
Esquecer que $p$ é um vetor de *todos* os preços, não apenas $p_{i}$ .

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

A demanda Hicksiana por um bem é encontrada calculando a derivada parcial da função de despesa em relação ao preço desse bem.

Esta fórmula é usada em microeconomia para derivar a função de demanda hicksiana por um bem quando a função de despesa é conhecida. É essencial para analisar o comportamento do consumidor sob a suposição de utilidade constante, particularmente ao separar os efeitos de substituição dos efeitos de renda de mudanças de preço, ou para análise de bem-estar.

Compreender a demanda hicksiana é fundamental para a teoria avançada do consumidor e a economia do bem-estar. Ela permite que os economistas meçam com precisão o impacto no bem-estar das mudanças de preços (por exemplo, usando variação compensatória ou variação equivalente) e construam índices de custo de vida verdadeiros, fornecendo uma imagem mais precisa do bem-estar do consumidor do que a demanda marshalliana padrão.

Confundir demanda hicksiana com demanda marshalliana (que mantém a renda constante). Realizar incorretamente a diferenciação parcial, especialmente com múltiplas variáveis de preço. Esquecer que $\mathbf{p}$ é um vetor de *todos* os preços, não apenas $p_i$.

No contexto de compensated demand for gasoline to maintain a certain lifestyle utility despite fuel price fluctuations, Compensated (Hicksian) Demand Function é utilizado para calcular Hicksian Demand for Good i from Price Vector, Utility Level, and Expenditure Function. O resultado importa porque ajuda a interpretar a taxa de variação local, a direção ou o efeito marginal na situação original.

Lembre-se de que a demanda hicksiana mantém a utilidade ($u$) constante, não a renda. A função de despesa $e(\mathbf{p}, u)$ fornece o custo mínimo para atingir a utilidade $u$ aos preços $\mathbf{p}$. A derivada parcial $\frac{\partial e}{\partial p_i}$ significa diferenciar $e$ em relação a $p_i$, tratando todos os outros preços e $u$ como constantes. Esta relação é conhecida como Lema de Shephard.

References

Sources

Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company.
Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory. Oxford University Press.
Wikipedia: Hicksian demand function
Wikipedia: Shephard's lemma
Microeconomic Analysis, 3rd Edition by Hal R. Varian
Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions, 12th Edition by Walter Nicholson and Christopher Snyder
Nicholson, Walter, and Christopher Snyder. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. Cengage Learning.
Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Overview

Variables

Derivation

Definir a Função de Despesa:

Aplicar o Teorema do Envelopamento (Lema de Shephard):

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Marshallian Demand Function

Expenditure Function

Frequently Asked Questions

Sources