Valor Presente de uma Perpetuidade com Crescimento

Core idea

Overview

A fórmula do Valor Presente de uma Perpetuidade com Crescimento, frequentemente chamada de Modelo de Crescimento de Gordon, é uma ferramenta fundamental em finanças para avaliar ativos que se espera que gerem um fluxo de caixa indefinidamente, com cada fluxo de caixa crescendo a uma taxa constante. Ela desconta esses fluxos de caixa futuros crescentes para seu valor presente, fornecendo um único valor que representa o valor atual dessa corrente de renda futura. Este modelo é particularmente útil para avaliar ações, imóveis ou negócios que se presume terem vida perpétua e crescimento estável.

When to use: Aplique esta fórmula ao avaliar um ativo que se espera que gere fluxos de caixa indefinidamente, e esses fluxos de caixa são projetados para crescer a uma taxa constante e estável. É crucial que a taxa de desconto (r) seja maior que a taxa de crescimento (g) para que a fórmula forneça um valor presente finito e significativo. Este modelo é comumente usado na avaliação de ações, particularmente para empresas maduras com crescimento previsível.

Why it matters: Esta equação é vital para investidores e analistas financeiros, pois fornece uma estrutura teórica para determinar o valor intrínseco de ativos geradores de renda. Ela ajuda na tomada de decisões de investimento, na avaliação da justeza dos preços dos ativos e na compreensão do impacto das taxas de crescimento e das taxas de desconto na avaliação. Sua aplicação se estende às finanças corporativas para orçamentação de capital e planejamento estratégico.

Symbols

Variables

$C_{1}$ = Cash Flow in Period 1, r = Discount Rate, g = Growth Rate, PV = Present Value

C_{1}

Cash Flow in Period 1

$

r

Discount Rate

%

g

Growth Rate

%

PV

Present Value

$

Walkthrough

Derivation

Fórmula: Valor Presente de uma Perpetuidade com Crescimento

Deriva a fórmula para o valor presente de um fluxo infinito de fluxos de caixa crescendo a uma taxa constante.

Os fluxos de caixa crescem a uma taxa constante (g) indefinidamente.
A taxa de desconto (r) é constante e maior que a taxa de crescimento (g).
O primeiro fluxo de caixa (C1) ocorre no final do primeiro período.

1

Definir Valor Presente como Soma de Fluxos de Caixa Descontados:

O valor presente (VP) é a soma de todos os fluxos de caixa futuros, cada um descontado para o presente. C1 é o fluxo de caixa no primeiro período, e ele cresce em (1+g) em cada período subsequente.

P V = \frac{C _{1}}{( 1 + r ) ^{1}} + \frac{C _{1} ( 1 + g )}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{C _{1} ( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots

2

Fatorar e Reconhecer como Série Geométrica:

Fatorar C1. A expressão entre colchetes é uma série geométrica infinita onde o primeiro termo é a = 1/(1+r) e a razão comum é x = (1+g)/(1+r).

P V = C_{1} [\frac{1}{1 + r} + \frac{1 + g}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots]

3

Aplicar a Fórmula da Soma da Série Geométrica Infinita:

A soma de uma série geométrica infinita a + ax + ax^2 + ... é a / (1-x), desde que |x| < 1. Aqui, o primeiro termo é C1/(1+r) e a razão comum é (1+g)/(1+r). A condição |x|<1 implica r > g.

P V = \frac{C _{1} \cdot \frac{1}{1 + r}}{1 - \frac{1 + g}{1 + r}}

4

Simplificar a Expressão:

Simplificar o denominador encontrando um denominador comum. Os termos (1+r) no numerador e denominador da fração principal se cancelam.

P V = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{( 1 + r ) - ( 1 + g )}{1 + r}} = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{r - g}{1 + r}}

5

Fórmula Final:

Esta é a fórmula simplificada para o valor presente de uma perpetuidade com crescimento, também conhecida como Modelo de Crescimento de Gordon.

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Note: Esta fórmula só é válida quando a taxa de desconto (r) é estritamente maior que a taxa de crescimento (g).

Result

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Source: Brealey, Myers, and Allen, Principles of Corporate Finance, Chapter 2: Present Value and the Opportunity Cost of Capital

Free formulas

Rearrangements

Solve for $C_{1}$

Isolar C1

C_{1} = P V \cdot (r - g)

Para tornar $C_{1}$ (Fluxo de Caixa no Período 1) o sujeito, multiplique ambos os lados da equação por $(r - g)$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

Valor Presente de uma Perpetuidade com Crescimento: Isolar r

r = \frac{C _{1}}{P V} + g

Para isolar $r$ (taxa de desconto), primeiro isole o termo $(r - g)$ e depois some $g$ aos dois lados.

Difficulty: 3/5

Solve for $g$

Valor Presente de uma Perpetuidade com Crescimento: Isolar g

g = r - \frac{C _{1}}{P V}

Para tornar $g$ (taxa de crescimento) o assunto, primeiro isole o termo $(r - g)$ , depois subtraia $r$ e multiplique por -1 ou reorganize os termos.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

O gráfico forma uma hipérbole porque a taxa de desconto aparece no denominador, o que significa que o valor presente diminui à medida que a taxa de desconto aumenta. Para um estudante de economia, essa forma ilustra que taxas de desconto mais altas reduzem significativamente o valor atual de fluxos de caixa futuros, enquanto taxas de desconto muito pequenas fazem o valor presente subir drasticamente. A característica mais importante desta curva é que o valor presente nunca atinge o zero, refletindo que, mesmo com uma taxa de desconto alta, um fluxo infinito de fluxos de caixa crescentes retém algum valor positivo.

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

A fórmula soma uma série infinita de fluxos de caixa futuros, cada um crescendo por 'g' mas descontado por 'r', onde o efeito líquido (r-g) garante que a soma converge para um valor presente finito, como um fluxo de caixa diminuindo mas nunca terminando

Term

O valor monetário atual de um fluxo infinito de fluxos de caixa futuros.

Quanto vale hoje uma corrente de renda perpétua e crescente. Um VP mais alto significa que o ativo é mais valioso agora.

Term

O fluxo de caixa esperado recebido no final do primeiro período.

O pagamento inicial na série infinita. Um

C_{1}

maior aumenta diretamente o valor presente.

Term

A taxa de desconto, representando a taxa de retorno exigida ou o custo de oportunidade do capital.

A taxa na qual o dinheiro futuro é desvalorizado para seu equivalente presente. Um 'r' mais alto reduz o valor presente, refletindo maior risco ou melhores investimentos alternativos.

Term

A taxa constante na qual os fluxos de caixa futuros são esperados crescer.

Quão rápido a corrente de renda aumenta a cada período. Um 'g' mais alto aumenta o valor presente, pois os pagamentos futuros são maiores.

Signs and relationships

r - g: A diferença 'r - g' representa a taxa de desconto efetiva líquida. A taxa de crescimento 'g' reduz o impacto da taxa de desconto 'r', tornando os fluxos de caixa futuros relativamente mais valiosos.

Free study cues

Insight

Canonical usage

Esta equação exige unidades monetárias consistentes para fluxos de caixa e valor presente, e unidades adimensionais consistentes (decimais) para taxas de desconto e crescimento, todas no mesmo período de tempo.

Dimension note

A taxa de desconto (r) e a taxa de crescimento (g) são razões adimensionais, normalmente expressas como decimais nos cálculos. O valor presente (PV) e o fluxo de caixa ( $C_{1}$ ) são expressos em unidades monetárias.

One free problem

Practice Problem

Espera-se que uma empresa pague um dividendo de US$ 100 no próximo ano, e esses dividendos são projetados para crescer a uma taxa constante de 5% indefinidamente. Se a taxa de retorno exigida para esta ação for de 10%, qual é o valor presente desta perpetuidade?

Hint: Certifique-se de que a taxa de desconto seja maior que a taxa de crescimento.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No caso de valuing a dividend-paying stock with a stable, Present Value of a Perpetuity with Growth é utilizado para calcular Present Value from Cash Flow in Period 1, Discount Rate, and Growth Rate. O resultado importa porque it helps compare incentives, policy effects, market outcomes, or financial decisions in context.

Study smarter

Tips

Certifique-se de que r > g; caso contrário, a fórmula resulta em um valor infinito ou negativo, indicando que o modelo não é aplicável.
C1 representa o fluxo de caixa no final do primeiro período, não o período atual (C0).
Ambos r e g devem ser expressos como decimais (por exemplo, 5% como 0.05).
O modelo assume crescimento constante e vida infinita, que são suposições fortes; use com cautela e considere outros métodos de avaliação.

Avoid these traps

Common Mistakes

Usar C0 em vez de C1 para o fluxo de caixa inicial.
Aplicar a fórmula quando r é menor ou igual a g.
Não converter porcentagens para decimais para r e g antes do cálculo.

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Deriva a fórmula para o valor presente de um fluxo infinito de fluxos de caixa crescendo a uma taxa constante.

Aplique esta fórmula ao avaliar um ativo que se espera que gere fluxos de caixa indefinidamente, e esses fluxos de caixa são projetados para crescer a uma taxa constante e estável. É crucial que a taxa de desconto (r) seja maior que a taxa de crescimento (g) para que a fórmula forneça um valor presente finito e significativo. Este modelo é comumente usado na avaliação de ações, particularmente para empresas maduras com crescimento previsível.

Esta equação é vital para investidores e analistas financeiros, pois fornece uma estrutura teórica para determinar o valor intrínseco de ativos geradores de renda. Ela ajuda na tomada de decisões de investimento, na avaliação da justeza dos preços dos ativos e na compreensão do impacto das taxas de crescimento e das taxas de desconto na avaliação. Sua aplicação se estende às finanças corporativas para orçamentação de capital e planejamento estratégico.

Usar C0 em vez de C1 para o fluxo de caixa inicial. Aplicar a fórmula quando r é menor ou igual a g. Não converter porcentagens para decimais para r e g antes do cálculo.

No caso de valuing a dividend-paying stock with a stable, Present Value of a Perpetuity with Growth é utilizado para calcular Present Value from Cash Flow in Period 1, Discount Rate, and Growth Rate. O resultado importa porque it helps compare incentives, policy effects, market outcomes, or financial decisions in context.

Certifique-se de que r > g; caso contrário, a fórmula resulta em um valor infinito ou negativo, indicando que o modelo não é aplicável. C1 representa o fluxo de caixa no final do primeiro período, não o período atual (C0). Ambos r e g devem ser expressos como decimais (por exemplo, 5% como 0.05). O modelo assume crescimento constante e vida infinita, que são suposições fortes; use com cautela e considere outros métodos de avaliação.

References

Sources

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Wikipedia: Gordon growth model
Principles of Corporate Finance by Brealey, Myers, Allen
Investments by Bodie, Kane, Marcus
Gordon growth model (Wikipedia article)
Bodie, Zvi, Alex Kane, and Alan J. Marcus. Investments. McGraw-Hill Education.
Brealey, Richard A., Stewart C. Myers, and Franklin Allen. Principles of Corporate Finance. McGraw-Hill Education.
Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, and Jeffrey Jaffe. Corporate Finance. McGraw-Hill Education.

Overview

Variables

Derivation

Definir Valor Presente como Soma de Fluxos de Caixa Descontados:

Fatorar e Reconhecer como Série Geométrica:

Aplicar a Fórmula da Soma da Série Geométrica Infinita:

Simplificar a Expressão:

Fórmula Final:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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