Correlação (PMCC) | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

O Coeficiente de Correlação de Produto-Momento de Pearson (PMCC) serve como uma medida estatística para quantificar a força e a direção de uma relação linear entre duas variáveis contínuas. Ele padroniza a covariância das variáveis pelo produto de seus desvios padrão, resultando em um índice adimensional que varia de -1 a +1.

When to use: Aplique esta fórmula ao analisar dados quantitativos emparelhados para verificar se uma mudança em uma variável corresponde a uma mudança proporcional em outra. Ela é especificamente projetada para associações lineares e assume que os dados são amostrados de uma distribuição normal bivariada.

Why it matters: Este coeficiente é um pilar da modelagem preditiva, permitindo que cientistas identifiquem padrões em dados climáticos, economistas protejam riscos em mercados financeiros e sociólogos encontrem ligações entre fatores demográficos. Ele fornece uma base matemática objetiva para concluir se dois fenômenos estão estatisticamente ligados ou são independentes.

Symbols

Variables

r = Correlation, $S_{x y}$ = Covariance Sum, $S_{xx}$ = Var Sum X, $S_{y y}$ = Var Sum Y

r

Correlation

Variable

S_{x y}

Covariance Sum

Variable

S_{xx}

Var Sum X

Variable

S_{y y}

Var Sum Y

Variable

Walkthrough

Derivation

Fórmula: Coeficiente de Correlação do Momento do Produto (PMCC)

O PMCC r de Pearson mede a força e a direção da associação linear entre duas variáveis, variando de -1 a 1.

A relação é aproximadamente linear.
Outliers podem afetar fortemente r.

1

Definir as Quantidades Resumo:

Calcule a soma das desvios cruzados e as somas dos quadrados para x e y.

S_{x y} = \sum (x - \overset{x}{ˉ}) (y - \overset{y}{ˉ}), S_{xx} = \sum (x - \overset{x}{ˉ})^{2}, S_{y y} = \sum (y - \overset{y}{ˉ})^{2}

2

Declarar a Fórmula do PMCC:

Divida a medida semelhante à covariância pelo produto das dispersões para padronizar o resultado.

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Note: r=1 é correlação linear positiva perfeita, r=-1 perfeita negativa e r=0 nenhuma correlação linear.

Result

r = \frac{S _{x y}}{S _{xx} S _{y y}}

Source: AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)

Why it behaves this way

Intuition

Imagine um gráfico de dispersão de pontos de dados; o PMCC quantifica quão próximos esses pontos se agrupam em torno de uma linha reta e se essa linha inclina-se para cima (correlação positiva) ou para baixo (correlação negativa).

Term

Uma medida padronizada da força e direção de uma relação linear entre duas variáveis.

Varia de -1 (correlação linear negativa perfeita) a +1 (correlação linear positiva perfeita), com 0 indicando nenhuma correlação linear.

Term

Soma dos produtos dos desvios de cada variável em relação à sua média.

Indica se as variáveis tendem a aumentar/diminuir juntas (positivo) ou em direções opostas (negativo).

Term

Soma dos desvios quadrados da variável x em relação à sua média.

Representa a variabilidade total ou dispersão dentro dos dados da variável x.

Term

Soma dos desvios quadráticos da variável y em relação à sua média.

Representa a variabilidade total ou dispersão dentro dos dados da variável y.

Term

Um fator de normalização derivado das variabilidades individuais de x e y.

Escala o termo semelhante à covariância (S_xy) para que o coeficiente de correlação 'r' esteja sempre entre -1 e +1, tornando-o uma medida adimensional.

Signs and relationships

S_{xy}: O sinal de S_xy determina diretamente o sinal de 'r'. Um S_xy positivo indica que, à medida que uma variável aumenta, a outra tende a aumentar (correlação positiva).
√(S_{xx)S_{yy}}: Este termo é sempre positivo porque S_xx e S_yy são somas de quadrados, portanto não negativos. Atua como um fator de escala, garantindo que o valor absoluto de 'r' nunca exceda 1, padronizando assim a medida de correlação linear

Free study cues

Insight

Canonical usage

O Coeficiente de Correlação Produto-Momento de Pearson (PMCC) é uma medida estatística adimensional, usada para quantificar a força e a direção de uma relação linear entre duas variáveis, e é informado como um valor

Dimension note

O Coeficiente de Correlação Produto-Momento de Pearson (PMCC) é uma razão entre a covariância de duas variáveis e o produto de seus desvios padrão.

One free problem

Practice Problem

Um pesquisador está estudando a ligação entre horas de estudo e notas de exames. Dada a soma dos produtos Sxy = 45, a soma dos quadrados para horas de estudo Sxx = 25, e a soma dos quadrados para notas de exames Syy = 100, calcule o coeficiente de correlação r.

Hint: Divida a soma dos produtos pela raiz quadrada do produto das somas dos quadrados individuais.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No caso de correlation between height and shoe size, Correlation (PMCC) é utilizado para calcular Correlation from Covariance Sum, Var Sum X, and Var Sum Y. O resultado importa porque ajuda a avaliar a incerteza, a dispersão ou as evidências antes de tirar uma conclusão dos dados.

Study smarter

Tips

Sempre visualize os dados com um gráfico de dispersão primeiro para confirmar a existência de uma tendência linear.
Tenha cuidado com os valores atípicos (outliers), pois eles podem inflar ou deflacionar significativamente o valor de r.
Lembre-se que uma correlação de zero implica nenhuma relação linear, mas uma relação não linear ainda pode existir.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confundir correlação com causalidade.
r > 1 (erro de cálculo).

Common questions

Frequently Asked Questions

O PMCC r de Pearson mede a força e a direção da associação linear entre duas variáveis, variando de -1 a 1.

Aplique esta fórmula ao analisar dados quantitativos emparelhados para verificar se uma mudança em uma variável corresponde a uma mudança proporcional em outra. Ela é especificamente projetada para associações lineares e assume que os dados são amostrados de uma distribuição normal bivariada.

Este coeficiente é um pilar da modelagem preditiva, permitindo que cientistas identifiquem padrões em dados climáticos, economistas protejam riscos em mercados financeiros e sociólogos encontrem ligações entre fatores demográficos. Ele fornece uma base matemática objetiva para concluir se dois fenômenos estão estatisticamente ligados ou são independentes.

Confundir correlação com causalidade. r > 1 (erro de cálculo).

No caso de correlation between height and shoe size, Correlation (PMCC) é utilizado para calcular Correlation from Covariance Sum, Var Sum X, and Var Sum Y. O resultado importa porque ajuda a avaliar a incerteza, a dispersão ou as evidências antes de tirar uma conclusão dos dados.

Sempre visualize os dados com um gráfico de dispersão primeiro para confirmar a existência de uma tendência linear. Tenha cuidado com os valores atípicos (outliers), pois eles podem inflar ou deflacionar significativamente o valor de r. Lembre-se que uma correlação de zero implica nenhuma relação linear, mas uma relação não linear ainda pode existir.

References

Sources

Wikipedia: Pearson product-moment correlation coefficient
Probability and Statistics for Engineers and Scientists by Walpole, Myers, Myers, Ye (9th Edition)
Moore, David S., and George P. McCabe. Introduction to the Practice of Statistics.
Introduction to the Practice of Statistics by David S. Moore, George P. McCabe, Bruce A. Craig
Statistical Methods for the Social Sciences by Alan Agresti
Wikipedia article "Pearson correlation coefficient
AQA A-Level Mathematics — Statistics (Bivariate Data)