Fórmula da Flexão (Tensão de Flexão)

Core idea

Overview

Esta fórmula assume que o material da viga é linear-elástico, isotrópico e homogêneo, com uma seção transversal simétrica em relação ao plano de flexão. Ela relaciona o momento interno à distribuição de tensões ao longo da profundidade do membro, mostrando que a tensão varia linearmente com a distância do eixo neutro. O sinal negativo é uma convenção que indica que um momento positivo causa compressão nas fibras superiores de uma viga simplesmente apoiada.

When to use: Use isto para determinar a tensão normal interna em uma viga sujeita à flexão pura ou flexão combinada com outras cargas.

Why it matters: É fundamental para a segurança estrutural, garantindo que a tensão de flexão induzida não exceda a resistência ao escoamento ou a tensão admissível do material.

Symbols

Variables

sigma = Bending Stress, M = Bending Moment, y = Distance from Neutral Axis, I = Moment of Inertia

sigma

Bending Stress

Variable

M

Bending Moment

Variable

y

Distance from Neutral Axis

Variable

I

Moment of Inertia

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivação da Fórmula de Flexão (Tensão de Flexão)

Esta derivação relaciona o momento fletor interno de uma viga à tensão normal interna, impondo compatibilidade geométrica (deformação linear) e comportamento constitutivo (Lei de Hooke).

A viga é inicialmente reta e prismática.
O material é linear-elástico, homogêneo e isotrópico.
Seções planas permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal após a flexão (hipótese de Bernoulli-Euler).
A viga está sujeita a flexão pura.

1

Relação Cinemática (Deformação)

Assumindo um raio de curvatura $ρ$ , a deformação longitudinal $ϵ_{x}$ varia linearmente com a distância $y$ do eixo neutro.

ϵ_{x} = - \frac{y}{ρ}

Note: O sinal negativo indica que para flexão positiva (côncava para cima), as fibras acima do eixo neutro estão sob compressão.

2

Relação Constitutiva (Lei de Hooke)

Ao aplicar a Lei de Hooke ( $σ = E ϵ$ ), expressamos a tensão como uma função do módulo de elasticidade $E$ e da curvatura.

σ_{x} = E ϵ_{x} = - \frac{E y}{ρ}

Note: Isso assume que o material está dentro da faixa elástica linear.

3

Equilíbrio de Momentos

O momento interno $M$ é a integral do momento gerado pela distribuição de tensão sobre a área da seção transversal $A$ .

M = \int_{A} - y σ_{x} d A = \int_{A} - y (- \frac{E y}{ρ}) d A = \frac{E}{ρ} \int_{A} y^{2} d A

Note: A integral $\int y^{2} d A$ é definida como o momento de inércia da área $I$ .

4

Relacionando Momento e Curvatura

Substituímos a integral por $I$ para resolver o termo de curvatura $1/ ρ$ em função do momento aplicado.

M = \frac{E I}{ρ} ⟹ \frac{1}{ρ} = \frac{M}{E I}

Note: O termo $E I$ é conhecido como rigidez flexural da viga.

5

Fórmula Final de Flexão

Substitua a expressão de curvatura de volta na equação de tensão para obter a fórmula final.

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Note: Sempre certifique-se de que as unidades sejam consistentes (por exemplo, N/mm² para MPa).

Result

σ = - \frac{E y}{E I} \cdot \frac{M}{1} = - \frac{M y}{I}

Source: Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ$

Isolar $σ$

σ = - \frac{M y}{I}

A fórmula já está expressa com $σ$ como sujeito.

Difficulty: 1/5

Solve for $M$

Isolar M

M = - \frac{σ I}{y}

Reorganize a equação para isolar o momento fletor M multiplicando ambos os lados por I e dividindo por y negativo.

Difficulty: 2/5

Solve for $I$

Isolar I

I = - \frac{M y}{σ}

Reorganize para resolver o momento de inércia I multiplicando por I e dividindo por sigma.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imagine dobrar uma borracha grossa. Ao dobrá-la, o lado externo estica (tensão) e o lado interno comprime. O eixo neutro (o plano central) permanece sem esticar. A equação descreve isso como uma 'rampa' linear de tensão: quanto mais você se afasta do centro (y), mais o material precisa esticar ou comprimir para acomodar a dobra, com a inclinação dessa rampa determinada pelo momento (M) e pela resistência da forma (I).

Term

Tensão de Flexão

A 'força de empurrão' ou 'puxão' interna por unidade de área agindo nas fibras do material em uma localização específica.

Term

Momento Fletor

A 'força de torção' aplicada à viga; um M maior cria uma luta interna mais intensa entre tensão e compressão.

Term

Distância Centroidal

O 'braço de alavanca'; quão longe você está da linha central onde não há tensão.

Term

Momento de Inércia de Área

A 'rigidez' geométrica; mede quão eficientemente a forma distribui o material para longe do centro para resistir à flexão.

Signs and relationships

Sinal negativo (-): Esta é uma convenção de sinal: garante que, para um momento fletor positivo (causando curvatura côncava para cima), pontos acima do eixo neutro (y positivo) resultem em tensão negativa (compressão), enquanto pontos abaixo (y negativo) resultam em tensão positiva (tensão).

One free problem

Practice Problem

Uma viga tem um momento de inércia I = 5000 cm^4 e está sujeita a um momento fletor M = 10 kN-m. Calcule a tensão de flexão em um ponto a 10 cm do eixo neutro.

Hint: Converta todas as unidades para Newtons e milímetros para manter a consistência (N/mm^2 = MPa).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No contexto de stress at the top and bottom edges of a steel I-beam supporting a bridge deck to ensure the steel does not yield under traffic loads, Flexure Formula (Bending Stress) é utilizado para calcular Bending Stress from Bending Moment and Distance from Neutral Axis. O resultado importa porque ajuda a estimar a probabilidade e formular um julgamento de risco ou decisão em vez de tratar o número como certeza.

Study smarter

Tips

Certifique-se de que a distância 'y' é medida a partir do eixo neutro centroidal da seção transversal.
Verifique se as unidades para M, y e I são consistentes (geralmente N, mm e mm^4).
Lembre-se de que a tensão máxima ocorre nas fibras mais externas (máximo 'y').

Avoid these traps

Common Mistakes

Usar o Momento de Inércia (I) errado para o eixo de flexão específico.
Confundir a distância da superfície externa com a distância do eixo neutro.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Esta derivação relaciona o momento fletor interno de uma viga à tensão normal interna, impondo compatibilidade geométrica (deformação linear) e comportamento constitutivo (Lei de Hooke).

Use isto para determinar a tensão normal interna em uma viga sujeita à flexão pura ou flexão combinada com outras cargas.

É fundamental para a segurança estrutural, garantindo que a tensão de flexão induzida não exceda a resistência ao escoamento ou a tensão admissível do material.

Usar o Momento de Inércia (I) errado para o eixo de flexão específico. Confundir a distância da superfície externa com a distância do eixo neutro.

No contexto de stress at the top and bottom edges of a steel I-beam supporting a bridge deck to ensure the steel does not yield under traffic loads, Flexure Formula (Bending Stress) é utilizado para calcular Bending Stress from Bending Moment and Distance from Neutral Axis. O resultado importa porque ajuda a estimar a probabilidade e formular um julgamento de risco ou decisão em vez de tratar o número como certeza.

Certifique-se de que a distância 'y' é medida a partir do eixo neutro centroidal da seção transversal. Verifique se as unidades para M, y e I são consistentes (geralmente N, mm e mm^4). Lembre-se de que a tensão máxima ocorre nas fibras mais externas (máximo 'y').

References

Sources

Hibbeler, R. C. (2017). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2014). Mechanics of Materials.
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. (2015). Mechanics of Materials.

Overview

Variables

Derivation

Relação Cinemática (Deformação)

Relação Constitutiva (Lei de Hooke)

Equilíbrio de Momentos

Relacionando Momento e Curvatura

Fórmula Final de Flexão

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Section Modulus

Frequently Asked Questions

Sources