Equação de Hagen-Poiseuille | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

Esta equação descreve condições de fluxo laminar onde o fluido se move em camadas paralelas sem interrupção entre elas. Ela relaciona a queda de pressão ao longo do comprimento de um tubo com o raio do tubo e a viscosidade do fluido. O resultado fornece a taxa na qual o volume do fluido passa pela seção transversal por unidade de tempo.

When to use: Use esta equação ao analisar o fluxo laminar de um fluido newtoniano viscoso e incompressível através de um tubo com seção transversal circular constante.

Why it matters: É essencial para entender o fluxo sanguíneo no sistema circulatório, projetar sistemas de lubrificação e analisar o fluxo em dispositivos microfluídicos.

Symbols

Variables

Q = Volumetric Flow Rate, R = Pipe Radius, $μ$ = Dynamic Viscosity, $P$ _1 = Inlet Pressure, $P$ _2 = Outlet Pressure

Q

Volumetric Flow Rate

m^{3} / s

R

Pipe Radius

m

μ

Dynamic Viscosity

P a \cdot s

P_{1}

Inlet Pressure

Pa

P_{2}

Outlet Pressure

Pa

Δ P

Pressure Difference

Pa

L

Pipe Length

m

Walkthrough

Derivation

Derivação da Equação de Hagen-Poiseuille

Esta derivação determina a vazão volumétrica de um fluido newtoniano em um tubo cilíndrico por meio da integração do perfil de velocidade derivado das equações de Navier-Stokes.

O fluido é incompressível e newtoniano.
O escoamento é laminar, permanente e completamente desenvolvido.
O tubo é um cilindro reto e rígido com seção transversal circular constante.

1

Balanço de Forças em um Elemento de Fluido

Consideramos um elemento de fluido cilíndrico de raio r e comprimento L. Para escoamento em regime permanente, a força de pressão que impulsiona o fluido deve ser equilibrada pela força de tensão de cisalhamento atuando na superfície do elemento.

τ (2 π r L) = (P_{1} - P_{2}) π r^{2}

Note: Isso pressupõe que o gradiente de pressão é constante ao longo do comprimento do tubo.

2

Expressão da Tensão de Cisalhamento

Usando a lei de viscosidade de Newton, relacionamos a tensão de cisalhamento ao gradiente de velocidade. O rearranjo da equação de equilíbrio de forças permite resolver o gradiente de velocidade em termos da queda de pressão.

τ = - μ \frac{d v}{d r} = \frac{( P _{1} - P _{2} ) r}{2 L}

Note: O sinal negativo indica que a velocidade diminui à medida que o raio aumenta.

3

Integração para o Perfil de Velocidade

Integrando o gradiente de velocidade em relação a r e aplicando a condição de não deslizamento (v=0 em r=R), obtém-se o perfil parabólico de velocidade.

v (r) = \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2})

Note: Isso mostra que a velocidade é máxima no centro do tubo (r=0).

4

Cálculo da Vazão Volumétrica

A vazão volumétrica total Q é obtida integrando o perfil de velocidade sobre toda a área da seção transversal do tubo usando coordenadas cilíndricas.

Q = \int_{0}^{R} v (r) 2 π r d r

Note: O termo 2πr dr representa a área de um anel fino no raio r.

5

Integração Final

A realização da integração resulta na equação de Hagen-Poiseuille final, relacionando a vazão à geometria do tubo, à viscosidade do fluido e à queda de pressão.

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Note: Observe a forte dependência do raio do tubo ( $R^{4}$ ).

Result

Q = \int_{0}^{R} \frac{( P _{1} - P _{2} )}{4 μL} (R^{2} - r^{2}) 2 π r d r = \frac{R ^{4} π}{8 μ} (\frac{P _{1} - P _{2}}{L})

Source: Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2002). Transport Phenomena.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}$

Isolar mu

μ = \frac{R ^{4} π ( P _{1} - P _{2} )}{8 Q L}

Reorganize a equação de Hagen-Poiseuille para resolver a viscosidade dinâmica do fluido.

Difficulty: 3/5

Solve for $Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}$

Isolar deltaP

Δ P = \frac{8 Q μL}{R ^{4} π}

Reorganize a equação de Hagen-Poiseuille para encontrar a diferença de pressão (ΔP = P₁ - P₂) necessária para um fluxo específico.

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

O gráfico mostra uma relação linear entre vazão volumétrica (Q) e diferença de pressão ($\Delta\mathcal{P}$). À medida que a diferença de pressão aumenta, a vazão volumétrica aumenta direta e proporcionalmente. Para um estudante, isso significa que dobrar a diferença de pressão dobrará a vazão, assumindo que outros fatores permaneçam constantes. A característica mais importante é essa proporcionalidade direta, ilustrando claramente como a pressão impulsiona o fluxo de fluido em uma tubulação.

Graph type: linear

Why it behaves this way

Intuition

Imagine um fluido se movendo através de um canudo longo e reto. O fluido próximo ao centro se move mais rápido, enquanto o fluido que toca as paredes fica estacionário devido ao atrito (a condição de não deslizamento). Isto cria um perfil de velocidade parabólica onde o "núcleo" do líquido desliza através de uma manga de camadas que se movem mais lentamente. O volume total espremido por segundo depende muito da largura do canudo e da sensação de 'espesso' ou pegajoso do fluido.

Term

Vazão Volumétrica

O volume total de fluido que passa através de uma seção transversal do tubo por unidade de tempo; essencialmente a rapidez com que o 'balde' enche.

Term

Pipe Radius

A distância do centro à parede. Por ser elevado à 4ª potência, duplicar o raio aumenta o fluxo em 16 vezes, tornando-o o fator mais sensível na equação.

Term

Viscosidade Dinâmica

O 'atrito interno' ou espessura do fluido. A alta viscosidade (como o mel) resiste mais ao fluxo do que a baixa viscosidade (como a água).

Term

Queda de Pressão

O 'empurrão' ou força motriz. O fluido só flui se houver uma diferença de pressão para superar as forças viscosas resistivas.

Term

Pipe Length

A distância que o fluido deve percorrer. Tubos mais longos criam mais atrito total contra as paredes, o que retarda o fluxo para uma determinada pressão.

Signs and relationships

R^4: Positivo e exponencial; isso significa que o alargamento do tubo reduz drasticamente a resistência ao fluxo, afastando mais fluido das paredes de alto atrito.
(P1 - P2): Positivo; o fluxo sempre se move de alta pressão (P1) para baixa pressão (P2). Uma diferença maior resulta em uma velocidade maior.
8µL no denominador: Relação inversa; aumentar a 'aderência' (viscosidade) ou a distância (comprimento) aumenta a resistência total, diminuindo assim a taxa de fluxo.

One free problem

Practice Problem

Calcule a vazão Q ( $m^{3}$ /s) para um fluido com viscosidade dinâmica de 0,001 Pa·s, um raio de tubo de 0,01 m, um comprimento de 2 m e uma diferença de pressão de 100 Pa.

Hint: Certifique-se de que a diferença de pressão é calculada como (P1 - P2) e as unidades estão em SI.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No contexto de volume of blood flowing through a specific vessel segment to assess cardiovascular function, Hagen-Poiseuille Equation é utilizado para calcular Volumetric Flow Rate from Pipe Radius, Dynamic Viscosity, and Inlet Pressure. O resultado importa porque ajuda a converter uma quantidade variável em um total como área, distância, volume, trabalho ou custo.

Study smarter

Tips

Certifique-se de que o fluxo é laminar verificando o número de Reynolds.
Certifique-se de que o tubo é suficientemente longo em relação ao seu diâmetro para ignorar os efeitos de entrada.
Verifique se as unidades de pressão, comprimento e raio são consistentes.

Avoid these traps

Common Mistakes

Aplicar a equação a condições de fluxo turbulento, onde ela não é mais válida.
Confundir o raio do tubo com o diâmetro.
Não converter as unidades de viscosidade, resultando em valores incorretos de pressão ou fluxo.

Common questions

Frequently Asked Questions

Esta derivação determina a vazão volumétrica de um fluido newtoniano em um tubo cilíndrico por meio da integração do perfil de velocidade derivado das equações de Navier-Stokes.

Use esta equação ao analisar o fluxo laminar de um fluido newtoniano viscoso e incompressível através de um tubo com seção transversal circular constante.

É essencial para entender o fluxo sanguíneo no sistema circulatório, projetar sistemas de lubrificação e analisar o fluxo em dispositivos microfluídicos.

Aplicar a equação a condições de fluxo turbulento, onde ela não é mais válida. Confundir o raio do tubo com o diâmetro. Não converter as unidades de viscosidade, resultando em valores incorretos de pressão ou fluxo.

No contexto de volume of blood flowing through a specific vessel segment to assess cardiovascular function, Hagen-Poiseuille Equation é utilizado para calcular Volumetric Flow Rate from Pipe Radius, Dynamic Viscosity, and Inlet Pressure. O resultado importa porque ajuda a converter uma quantidade variável em um total como área, distância, volume, trabalho ou custo.

Certifique-se de que o fluxo é laminar verificando o número de Reynolds. Certifique-se de que o tubo é suficientemente longo em relação ao seu diâmetro para ignorar os efeitos de entrada. Verifique se as unidades de pressão, comprimento e raio são consistentes.

References

Sources

White, F. M. (2016). Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education.
Munson, B. R., Young, D. F., & Okiishi, T. H. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics. Wiley.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Hagen–Poiseuille equation
White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
Britannica - Hagen-Poiseuille equation
Wikipedia - Hagen–Poiseuille equation