Lei da Gravitação Universal de Newton

Core idea

Overview

A força é sempre atrativa, atuando ao longo da linha que une os centros das duas massas. Essa relação inversa do quadrado significa que dobrar a distância entre os dois corpos reduz a força gravitacional a um quarto de seu valor original. Ela serve como base para a compreensão das órbitas planetárias, do movimento de satélites e da formação de estruturas celestes.

When to use: Use esta equação ao calcular a força da gravidade entre quaisquer dois objetos massivos onde a distância de separação é significativamente maior do que os raios dos objetos.

Why it matters: Explica por que os planetas orbitam o Sol, por que as luas permanecem em órbita e como podemos calcular a massa de corpos celestes.

Symbols

Variables

F = Gravitational Force, G = Gravitational Constant, M = Mass of first object, m = Mass of second object, r = Distance between centers

F

Gravitational Force

Variable

G

Gravitational Constant

Variable

M

Mass of first object

Variable

m

Mass of second object

Variable

r

Distance between centers

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivação da Lei da Gravitação Universal de Newton

Newton derivou esta lei sintetizando a Terceira Lei de Kepler do movimento planetário com o requisito de força centrípeta em órbitas circulares.

As órbitas planetárias são aproximadamente circulares.
A força gravitacional é a única fonte de força centrípeta para um corpo em órbita.
A força é proporcional a ambas as massas envolvidas (simetria da Terceira Lei de Newton).

1

Requisito de Força Centrípeta

Para um objeto de massa m movendo-se em órbita circular de raio r com velocidade v, uma força centrípeta é necessária para manter o caminho.

F = \frac{m v ^{2}}{r}

Note: Certifique-se de que as unidades sejam consistentes (SI) ao usar esta fórmula.

2

Relacionando Velocidade Orbital e Período

Substitua a definição de velocidade para uma órbita circular (circunferência dividida pelo período) na equação de força.

v = \frac{2 π r}{T} ⟹ v^{2} = \frac{4 π ^{2} r ^{2}}{T ^{2}}

Note: T representa o período orbital.

3

Aplicando a Terceira Lei de Kepler

A Terceira Lei de Kepler afirma que o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo do raio.

\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = k ⟹ T^{2} = k r^{3}

Note: A Lei de Kepler é empírica; Newton forneceu a base teórica para ela.

4

Combinando e Simplificando

Substitua T ao quadrado na equação de força e simplifique para mostrar que F é inversamente proporcional a r ao quadrado, definindo G como a constante de proporcionalidade.

F = \frac{m ( 4 π ^{2} r ^{2} / k r ^{3} )}{r} = \frac{4 π ^{2} m}{k r ^{2}} = \frac{GM m}{r ^{2}}

Note: G é a Constante Gravitacional Universal.

Result

F = \frac{m ( 4 π ^{2} r ^{2} / k r ^{3} )}{r} = \frac{4 π ^{2} m}{k r ^{2}} = \frac{GM m}{r ^{2}}

Source: AQA/Edexcel A-Level Physics Specification: Gravitational Fields

Free formulas

Rearrangements

Solve for $M$

Isolar M

M = \frac{F r ^{2}}{G m}

Rearranje a equação para isolar M.

Difficulty: 3/5

Solve for $m$

Isolar m

m = \frac{F r ^{2}}{GM}

Rearranje a equação para isolar m.

Difficulty: 3/5

Solve for $r$

Isolar r

r = \frac{GM m}{F}

Reorganize a fórmula para resolver a distância entre os centros das duas massas.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imagine a força como uma 'fonte de gravidade' emitida pela massa M. A intensidade do campo se espalha pela área da superfície de uma esfera (4πr²) à medida que se afasta. Como a área da superfície de uma esfera cresce com o quadrado do raio (r²), a concentração dessa força deve diluir por um fator de 1/r².

Term

Força Gravitacional

O 'puxão' ou peso exercido entre dois objetos; o resultado de sua atração gravitacional mútua.

Term

Constante Gravitacional

O 'botão de força' do universo; ele nos diz quanta força é produzida por unidade de massa e distância em nosso universo específico.

Term

Massas dos dois objetos

A 'carga gravitacional'; quanto mais matéria concentrada em um objeto, mais forte seu puxão sobre os outros.

Term

Distância de separação

Quão distantes estão os centros das duas massas; à medida que isso aumenta, a força cai drasticamente devido à relação inversa ao quadrado.

Signs and relationships

1/r²: Isso representa a lei do inverso do quadrado, indicando que a gravidade segue a geometria do espaço 3D, onde a intensidade se espalha pela área da superfície de uma esfera.

One free problem

Practice Problem

Calcule a força gravitacional entre duas massas de 1000 kg separadas por uma distância de 10 metros.

Hint: Insira os valores em F = GMm/r². Lembre-se de que r² é 100.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No caso de physics application involving Newton's Law of Universal Gravitation, Newton's Law of Universal Gravitation é utilizado para calcular Gravitational Force from Gravitational Constant, Mass of first object, and Mass of second object. O resultado importa porque ajuda a verificar cargas, margens ou tamanhos de componentes antes que um projeto seja considerado seguro.

Study smarter

Tips

Certifique-se de que a distância r seja medida entre os centros de massa dos dois objetos, e não suas superfícies.
Use unidades do SI: quilogramas para massa e metros para distância para manter a consistência com a Constante Gravitacional G.
Lembre-se de que a força é mútua; o objeto M exerce a mesma magnitude de força em m que m exerce em M.

Avoid these traps

Common Mistakes

Esquecer de elevar ao quadrado o raio (r) no denominador.
Medir r a partir da superfície de um planeta em vez de seu centro.
Confundir a constante gravitacional G (6,67 × 10^-11) com a aceleração devido à gravidade g (9,81 m/s²).

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Newton derivou esta lei sintetizando a Terceira Lei de Kepler do movimento planetário com o requisito de força centrípeta em órbitas circulares.

Use esta equação ao calcular a força da gravidade entre quaisquer dois objetos massivos onde a distância de separação é significativamente maior do que os raios dos objetos.

Explica por que os planetas orbitam o Sol, por que as luas permanecem em órbita e como podemos calcular a massa de corpos celestes.

Esquecer de elevar ao quadrado o raio (r) no denominador. Medir r a partir da superfície de um planeta em vez de seu centro. Confundir a constante gravitacional G (6,67 × 10^-11) com a aceleração devido à gravidade g (9,81 m/s²).

No caso de physics application involving Newton's Law of Universal Gravitation, Newton's Law of Universal Gravitation é utilizado para calcular Gravitational Force from Gravitational Constant, Mass of first object, and Mass of second object. O resultado importa porque ajuda a verificar cargas, margens ou tamanhos de componentes antes que um projeto seja considerado seguro.

Certifique-se de que a distância r seja medida entre os centros de massa dos dois objetos, e não suas superfícies. Use unidades do SI: quilogramas para massa e metros para distância para manter a consistência com a Constante Gravitacional G. Lembre-se de que a força é mútua; o objeto M exerce a mesma magnitude de força em m que m exerce em M.

References

Sources

Newton, I. (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fundamentals of Physics.
AQA/Edexcel A-Level Physics Specification: Gravitational Fields

Overview

Variables

Derivation

Requisito de Força Centrípeta

Relacionando Velocidade Orbital e Período

Aplicando a Terceira Lei de Kepler

Combinando e Simplificando

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Gravitational Field Strength

Frequently Asked Questions

Sources