Função Densidade de Probabilidade (FDP) da Distribuição Normal

Core idea

Overview

Esta fórmula representa a clássica curva gaussiana em forma de sino, onde o pico é definido pela média (μ) e a dispersão ou largura é controlada pela variância (σ²). É a pedra angular da estatística inferencial, pois o Teorema do Limite Central dita que as somas de muitas variáveis aleatórias independentes tendem a essa distribuição. A integral desta função sobre qualquer intervalo representa a probabilidade de que a variável aleatória caia dentro desse intervalo.

When to use: Use isso para modelar fenômenos físicos, biológicos ou sociais onde os pontos de dados se agrupam em torno de uma média central com desvios simétricos.

Why it matters: Permite o cálculo de probabilidades, teste de hipóteses e a estimativa de parâmetros em quase todos os campos científicos e de engenharia.

Symbols

Variables

x = Random Variable, $μ$ = Mean, $σ^{2}$ = Variance

x

Random Variable

Variable

μ

Mean

Variable

σ^{2}

Variance

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivação da Função de Densidade de Probabilidade (PDF) da Distribuição Normal

A distribuição normal é derivada do requisito de que o estimador de máxima verossimilhança para uma média de observações independentes seja a média aritmética, levando à equação funcional de Gauss.

A função densidade de probabilidade f(x) depende apenas da distância da média.
A probabilidade conjunta de observações independentes é o produto de suas probabilidades individuais.
A função deve ser normalizada de modo que a área total sob a curva seja igual a 1.

1

Formulando a Equação Funcional

Assumindo que o valor mais provável para a média é a média aritmética, o produto das densidades deve ser uma função da soma dos quadrados das observações.

f (x_{1}) f (x_{2}) ... f (x_{n}) = ϕ (\sum x_{i}^{2})

Note: Isso é frequentemente referido como a derivação de Gauss baseada no postulado da média aritmética.

2

Resolvendo via Diferenciação Logarítmica

Ao tomar o logaritmo natural de ambos os lados, o produto se transforma em uma soma, o que implica que a derivada deve ser linear, levando à forma f(x) = Ce^{ax^2}.

ln (f (x_{1})) + ln (f (x_{2})) + ... + ln (f (x_{n})) = ln (ϕ (\sum x_{i}^{2}))

Note: Identificamos 'a' como negativo para garantir que a função decaia conforme |x| aumenta.

3

Determinando Constantes

Usamos a identidade da integral gaussiana para encontrar a constante de normalização C, garantindo que a probabilidade total integre para 1.

\int_{- \infty}^{\infty} C e^{- k (x - μ)^{2}} d x = 1

Note: Lembre-se de que a integral de $e^{- x^{2}}$ é a raiz quadrada de pi.

4

Normalização Final

Substituir a variância sigma-quadrado pelo parâmetro de espalhamento fornece a forma padrão da PDF normal.

f (x) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Note: Esta forma final satisfaz a propriedade de que a distribuição está centrada em mu com variância sigma-quadrado.

Result

f (x) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Source: Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $x$

Isolar x

x = μ \pm - 2 σ^{2} ln (f (x ∣ μ, σ^{2}) 2 π σ^{2})

Isole a variável x tomando o logaritmo natural e realizando operações algébricas.

Difficulty: 3/5

Solve for $μ$

Isolar $μ$

μ = x \mp - 2 σ^{2} ln (f 2 π σ^{2})

Rearranje a equação para isolar mu.

Difficulty: 3/5

Solve for $σ^{2}$

Isolar $σ^{2}$

σ^{2} = - \frac{( x - μ ) ^{2}}{W ( - 2 π f ^{2} ( x - μ ) ^{2} )}

Resolva a variação usando a função Lambert W ou métodos iterativos, pois $σ^{2}$ aparece na base e no expoente.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Imagine uma cadeia de montanhas física criada ao despejar areia em uma superfície plana. O pico (a média) é onde a maior parte da areia se acumula, e a altura cai exponencialmente conforme você se afasta do centro. A curva é uma forma 'ponderada pela gravidade' onde a inclinação das encostas é controlada pelo espalhamento da areia; uma pilha larga (grande variância) é suave, enquanto um pico alto e fino (pequena variância) é íngreme.

Term

Função de Densidade de Probabilidade

A 'altura' da curva em qualquer ponto x, representando a probabilidade relativa de encontrar um valor específico dada a média e o espalhamento.

Term

Média (Valor Esperado)

O ponto de ancoragem central ou a localização horizontal do pico da curva de sino.

Term

Variância

O fator de 'largura'; ele dita o quanto os dados estão espalhados a partir do centro.

Term

Número de Euler

Atua como a base para o decaimento, garantindo que a probabilidade diminua de forma suave e previsível à medida que nos afastamos da média.

Signs and relationships

-(x - μ)²: O sinal negativo garante que o expoente seja sempre negativo ou zero, criando um pico na média (onde x=μ) e fazendo com que a função decaia em direção a zero conforme x se afasta da média.
1 / sqrt(2πσ²): Esta é a 'constante de normalização'. Ela garante que a área total sob toda a curva seja exatamente 1, representando 100% de probabilidade total.

One free problem

Practice Problem

Para uma distribuição normal com média (μ) de 0 e variância (σ²) de 1, calcule a densidade f(x) em x = 0.

Hint: Lembre-se que $e^{0}$ = 1 e a expressão se simplifica para 1/sqrt(2π).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

As alturas dos homens adultos em uma população específica, que se agrupam em torno de uma altura média com um desvio padrão previsível.

Study smarter

Tips

Lembre-se de que a área total sob a curva é sempre exatamente 1.
Use a distribuição normal padrão (escore Z) definindo μ=0 e σ=1 para simplificar cálculos complexos.
Observe que aproximadamente 68%, 95% e 99,7% dos dados caem dentro de 1, 2 e 3 desvios padrão da média, respectivamente.

Avoid these traps

Common Mistakes

Confundir desvio padrão (σ) com variância (σ²).
Assumir que o valor da FDP é uma probabilidade em si, em vez de uma densidade (a probabilidade de um ponto exato é 0).

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Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

A distribuição normal é derivada do requisito de que o estimador de máxima verossimilhança para uma média de observações independentes seja a média aritmética, levando à equação funcional de Gauss.

Use isso para modelar fenômenos físicos, biológicos ou sociais onde os pontos de dados se agrupam em torno de uma média central com desvios simétricos.

Permite o cálculo de probabilidades, teste de hipóteses e a estimativa de parâmetros em quase todos os campos científicos e de engenharia.

Confundir desvio padrão (σ) com variância (σ²). Assumir que o valor da FDP é uma probabilidade em si, em vez de uma densidade (a probabilidade de um ponto exato é 0).

As alturas dos homens adultos em uma população específica, que se agrupam em torno de uma altura média com um desvio padrão previsível.

Lembre-se de que a área total sob a curva é sempre exatamente 1. Use a distribuição normal padrão (escore Z) definindo μ=0 e σ=1 para simplificar cálculos complexos. Observe que aproximadamente 68%, 95% e 99,7% dos dados caem dentro de 1, 2 e 3 desvios padrão da média, respectivamente.

References

Sources

Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability.
Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.

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Determinando Constantes

Normalização Final

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