Regra do Quociente

Core idea

Overview

A Regra do Quociente é uma fórmula fundamental do cálculo usada para encontrar a derivada de uma função composta pela divisão de duas outras funções diferenciáveis. Ela estabelece uma relação formal entre a derivada do quociente e os valores individuais e as derivadas do numerador e do denominador.

When to use: Aplique esta regra quando precisar diferenciar uma fração onde ambas as expressões, superior e inferior, são funções da mesma variável independente. É a ferramenta principal para funções racionais que não podem ser facilmente simplificadas em formas polinomiais ou de produto mais simples.

Why it matters: É essencial para analisar taxas em ciência e economia, como determinar a produtividade marginal ou a velocidade de objetos em dinâmica de fluidos. Também permite a derivação de outras regras importantes do cálculo, especificamente as para funções trigonométricas como tangente e secante.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, v = Denominator v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u', u = Numerator u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

v

Denominator v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

u

Numerator u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

Walkthrough

Derivation

Derivação da Regra do Quociente

A regra do quociente diferencia u(x)/v(x). Ela pode ser derivada reescrevendo como um produto u(x)·v(x)^(-1) e aplicando as regras do produto e da cadeia.

u(x) e v(x) são diferenciáveis.
v(x) $\neq =$ 0 no intervalo de interesse.

1

Reescreva como um Produto:

Escreva $\frac{u}{v}$ como $u v^{- 1}$ .

y = u \cdot v^{- 1}

2

Diferencie Usando as Regras do Produto e da Cadeia:

Diferencie u normalmente e diferencie $v^{- 1}$ usando a regra da cadeia.

\frac{d y}{d x} = u^{'} v^{- 1} + u (- 1 \cdot v^{- 2} \cdot v^{'})

3

Reescreva com Frações:

Converta potências negativas para a forma fracionária.

\frac{d y}{d x} = \frac{u ^{'}}{v} - \frac{u v ^{'}}{v ^{2}}

4

Combine sobre um Denominador Comum:

Coloque ambos os termos sobre $v^{2}$ para obter a regra do quociente padrão.

\frac{d y}{d x} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Result

\frac{d y}{d x} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Source: OCR A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Why it behaves this way

Intuition

A Regra do Quociente fornece a inclinação da linha tangente ao gráfico de uma função y = u(x)/v(x) em qualquer ponto dado, combinando as taxas de variação individuais e os valores de suas funções numerador e denominador.

Term

A taxa de variação instantânea da função y, que é um quociente de u e v, em relação à variável independente x.

Representa a rapidez com que a razão u/v está mudando em um ponto específico.

Term

A função numerador, dependente de x.

A parte 'superior' da fração cuja derivada está sendo procurada.

Term

A função denominador, dependente de x.

A parte 'inferior' da fração; seu valor escala fortemente o quociente geral.

Term

A taxa de variação instantânea da função numerador u em relação a x.

Quão rapidamente a parte 'superior' da fração está mudando.

Term

A taxa de variação instantânea da função denominador v em relação a x.

Quão rapidamente a parte 'inferior' da fração está mudando.

Signs and relationships

O sinal de menos em v (du/dx) - u (dv/dx): Este sinal negativo leva em conta a relação inversa entre o denominador e o quociente geral. Se o denominador v aumenta (dv/dx > 0)
v^2 in the denominator: Este termo garante que a derivada seja escalada inversamente pelo quadrado da função denominador. Ele reflete que as mudanças no denominador têm um efeito mais pronunciado no quociente quando v é pequeno, e ele

Free study cues

Insight

Canonical usage

Esta equação é usada para determinar a derivada do quociente de duas funções, garantindo que as unidades da derivada resultante sejam consistentes com as unidades das funções originais e da variável independente.

Dimension note

A Regra do Quociente em si é uma identidade matemática para derivadas e não implica, por si só, grandezas adimensionais. As unidades da derivada dy/dx são determinadas pelas unidades das funções u e v e pelas unidades da variável independente x.

One free problem

Practice Problem

Uma função é definida como y = u/v. Se em um certo ponto o numerador u é 4, sua derivada du é 5, o denominador v é 2, e sua derivada dv é 1, calcule a derivada dy naquele ponto.

Hint: Aplique a fórmula: (v × du - u × dv) / v².

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

No caso de rate of change of density (mass/volume), Quotient Rule é utilizado para calcular Gradient from Denominator v, Derivative u', and Numerator u. O resultado importa porque ajuda a conectar o cálculo com a forma, a taxa, a probabilidade ou a restrição no modelo.

Study smarter

Tips

Use o mnemônico 'o de baixo vezes a derivada do de cima, menos o de cima vezes a derivada do de baixo, sobre o de baixo ao quadrado'.
Sempre comece com o denominador vezes a derivada do numerador para evitar erros de sinal.
Verifique se há fatores comuns no numerador resultante para simplificar a fração após aplicar a regra.

Avoid these traps

Common Mistakes

Inverter os termos u e v.
Esquecer o denominador v².

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

A regra do quociente diferencia u(x)/v(x). Ela pode ser derivada reescrevendo como um produto u(x)·v(x)^(-1) e aplicando as regras do produto e da cadeia.

Aplique esta regra quando precisar diferenciar uma fração onde ambas as expressões, superior e inferior, são funções da mesma variável independente. É a ferramenta principal para funções racionais que não podem ser facilmente simplificadas em formas polinomiais ou de produto mais simples.

É essencial para analisar taxas em ciência e economia, como determinar a produtividade marginal ou a velocidade de objetos em dinâmica de fluidos. Também permite a derivação de outras regras importantes do cálculo, especificamente as para funções trigonométricas como tangente e secante.

Inverter os termos u e v. Esquecer o denominador v².

No caso de rate of change of density (mass/volume), Quotient Rule é utilizado para calcular Gradient from Denominator v, Derivative u', and Numerator u. O resultado importa porque ajuda a conectar o cálculo com a forma, a taxa, a probabilidade ou a restrição no modelo.

Use o mnemônico 'o de baixo vezes a derivada do de cima, menos o de cima vezes a derivada do de baixo, sobre o de baixo ao quadrado'. Sempre comece com o denominador vezes a derivada do numerador para evitar erros de sinal. Verifique se há fatores comuns no numerador resultante para simplificar a fração após aplicar a regra.

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Wikipedia: Quotient rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
Thomas, George B., Jr., et al. Thomas' Calculus. 14th ed. Pearson, 2018.
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
Thomas, George B. Jr., Weir, Maurice D., Hass, Joel. Thomas' Calculus. Pearson Education.
Wikipedia article "Quotient rule
OCR A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

Reescreva como um Produto:

Diferencie Usando as Regras do Produto e da Cadeia:

Reescreva com Frações:

Combine sobre um Denominador Comum:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Product Rule

Frequently Asked Questions

Sources