Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (PDF)

Core idea

Overview

Bu formül, zirvenin ortalama (μ) tarafından tanımlandığı ve yayılmanın veya genişliğin varyans (σ²) tarafından kontrol edildiği klasik çan şeklindeki Gauss eğrisini temsil eder. Çıkarımsal istatistiğin temel taşıdır, çünkü Merkezi Limit Teoremi, birçok bağımsız rasgele değişkenin toplamlarının bu dağılıma doğru eğilim gösterdiğini belirtir. Bu fonksiyonun herhangi bir aralık üzerindeki integrali, rasgele değişkenin o aralığa düşme olasılığını temsil eder.

When to use: Veri noktalarının simetrik sapmalarla merkezi bir ortalama etrafında toplandığı fiziksel, biyolojik veya sosyal fenomenleri modellemek için bunu kullanın.

Why it matters: Neredeyse tüm bilimsel ve mühendislik alanlarında olasılıkların hesaplanmasına, hipotez testlerine ve parametrelerin tahminine olanak tanır.

Symbols

Variables

x = Random Variable, $μ$ = Mean, $σ^{2}$ = Variance

x

Random Variable

Variable

μ

Mean

Variable

σ^{2}

Variance

Variable

Walkthrough

Derivation

Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu'nun (PDF) Türetilmesi

Normal dağılım, bağımsız gözlemlerin ortalaması için en olası tahmin edicinin aritmetik ortalama olması gerektiği şartından türetilmiştir ve bu durum Gauss'un fonksiyonel denklemine yol açar.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x), yalnızca ortalamadan olan uzaklığa bağlıdır.
Bağımsız gözlemlerin ortak olasılığı, bireysel olasılıklarının çarpımıdır.
Fonksiyon, eğrinin altındaki toplam alan 1'e eşit olacak şekilde normalleştirilmelidir.

1

Fonksiyonel Denklemin Formüle Edilmesi

Ortalama için en olası değerin aritmetik ortalama olduğunu varsayarsak, yoğunlukların çarpımı, gözlemlerin kareleri toplamının bir fonksiyonu olmalıdır.

f (x_{1}) f (x_{2}) ... f (x_{n}) = ϕ (\sum x_{i}^{2})

Note: Bu, genellikle aritmetik ortalama postulatına dayanan Gauss türetmesi olarak adlandırılır.

2

Logaritmik Türevleme Yoluyla Çözüm

Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak, çarpım bir toplama dönüşür; bu da türevin doğrusal olması gerektiği anlamına gelir ve f(x) = Ce^{ax^2} formuna yol açar.

ln (f (x_{1})) + ln (f (x_{2})) + ... + ln (f (x_{n})) = ln (ϕ (\sum x_{i}^{2}))

Note: Fonksiyonun |x| arttıkça azaldığından emin olmak için 'a'yı negatif olarak tanımlarız.

3

Sabitlerin Belirlenmesi

Toplam olasılığın 1'e entegre olmasını sağlayarak C normalleştirme sabitini bulmak için Gauss integrali kimliğini kullanırız.

\int_{- \infty}^{\infty} C e^{- k (x - μ)^{2}} d x = 1

Note: $e^{- x^{2}}$ 'nin integralinin pi'nin karekökü olduğunu hatırlayın.

4

Nihai Normalleştirme

Yayılım parametresi için varyansın sigma-kare değerini yerine koymak, normal PDF'in standart formunu verir.

f (x) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Note: Bu nihai form, dağılımın sigma-kare varyansı ile mu merkezli olduğu özelliğini sağlar.

Result

f (x) = \frac{1}{2 π σ ^{2}} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Source: Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $x$

x değişkenini yalnız bırak

x = μ \pm - 2 σ^{2} ln (f (x ∣ μ, σ^{2}) 2 π σ^{2})

Denklemi x değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 3/5

Solve for $μ$

$μ$ değişkenini yalnız bırak

μ = x \mp - 2 σ^{2} ln (f 2 π σ^{2})

Denklemi mu değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 3/5

Solve for $σ^{2}$

$σ^{2}$ değişkenini yalnız bırak

σ^{2} = - \frac{( x - μ ) ^{2}}{W ( - 2 π f ^{2} ( x - μ ) ^{2} )}

Varyansı çözmek için Lambert W fonksiyonunu veya yinelemeli yöntemleri kullanın; çünkü $σ^{2}$ hem tabanda hem de üstte görünür.

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Düz bir yüzeye kum dökülerek oluşturulmuş fiziksel bir dağ sırası hayal edin. Tepe (ortalama) kumun çoğunun toplandığı yerdir ve merkezden uzaklaştıkça yükseklik üstel olarak düşer. Eğri, yamaçların dikliğinin kumun yayılımı tarafından kontrol edildiği 'yerçekimi ağırlıklı' bir şekildir; geniş bir yığın (büyük varyans) naziktir, oysa uzun ve ince bir sivri uç (küçük varyans) diktir.

Term

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Ortalama ve yayılım verildiğinde, belirli bir değerle karşılaşmanın göreceli olasılığını temsil eden x noktasındaki eğrinin 'yüksekliği'.

Term

Ortalama (Beklenen Değer)

Merkezi çapa noktası veya çan eğrisinin tepesinin yatay konumu.

Term

Varyans

'Genişlik' faktörü; verilerin merkezden ne kadar geniş bir alana dağıldığını belirler.

Term

Euler Sayısı

Ortalamadan uzaklaştıkça olasılığın sorunsuz ve tahmin edilebilir bir şekilde azaldığından emin olmak için azalma tabanı görevi görür.

Signs and relationships

-(x - μ)²: Negatif işaret, üssün her zaman negatif veya sıfır olmasını sağlar; ortalamada (x=μ olduğu yerde) bir tepe noktası oluşturur ve x ortalamadan uzaklaştıkça fonksiyonun sıfıra doğru azalmasına neden olur.
1 / sqrt(2πσ²): Bu 'normalleştirme sabitidir.' Eğrinin altındaki toplam alanın tam olarak 1 olmasını, yani %100 toplam olasılığı temsil etmesini sağlar.

One free problem

Practice Problem

Ortalaması (μ) 0 ve varyansı (σ²) 1 olan normal bir dağılım için, x = 0'da yoğunluk f(x) değerini hesaplayın.

Hint: $e^{0}$ = 1 olduğunu ve ifadenin 1/sqrt(2π) olarak basitleştiğini hatırlayın.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Belirli bir popülasyondaki yetişkin erkeklerin boyları, tahmin edilebilir bir standart sapma ile ortalama bir boy etrafında toplanır.

Study smarter

Tips

Eğrinin altındaki toplam alanın her zaman tam olarak 1 olduğunu unutmayın.
Karmaşık hesaplamaları basitleştirmek için μ=0 ve σ=1 ayarlayarak standart normal dağılımı (Z-skoru) kullanın.
Verilerin yaklaşık %68, %95 ve %99.7'sinin ortalamadan 1, 2 ve 3 standart sapma içinde kaldığını unutmayın.

Avoid these traps

Common Mistakes

Standart sapmayı (σ) varyansla (σ²) karıştırmak.
PDF değerinin kendisinin bir olasılık olduğunu varsaymak yerine, bir yoğunluk olduğunu (kesin bir noktanın olasılığı 0'dır) unutmak.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

Normal dağılım, bağımsız gözlemlerin ortalaması için en olası tahmin edicinin aritmetik ortalama olması gerektiği şartından türetilmiştir ve bu durum Gauss'un fonksiyonel denklemine yol açar.

Veri noktalarının simetrik sapmalarla merkezi bir ortalama etrafında toplandığı fiziksel, biyolojik veya sosyal fenomenleri modellemek için bunu kullanın.

Neredeyse tüm bilimsel ve mühendislik alanlarında olasılıkların hesaplanmasına, hipotez testlerine ve parametrelerin tahminine olanak tanır.

Standart sapmayı (σ) varyansla (σ²) karıştırmak. PDF değerinin kendisinin bir olasılık olduğunu varsaymak yerine, bir yoğunluk olduğunu (kesin bir noktanın olasılığı 0'dır) unutmak.

Belirli bir popülasyondaki yetişkin erkeklerin boyları, tahmin edilebilir bir standart sapma ile ortalama bir boy etrafında toplanır.

Eğrinin altındaki toplam alanın her zaman tam olarak 1 olduğunu unutmayın. Karmaşık hesaplamaları basitleştirmek için μ=0 ve σ=1 ayarlayarak standart normal dağılımı (Z-skoru) kullanın. Verilerin yaklaşık %68, %95 ve %99.7'sinin ortalamadan 1, 2 ve 3 standart sapma içinde kaldığını unutmayın.

References

Sources

Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability.
Gauss, C. F. (1809). Theoria motus corporum coelestium.

Overview

Variables

Derivation

Fonksiyonel Denklemin Formüle Edilmesi

Logaritmik Türevleme Yoluyla Çözüm

Sabitlerin Belirlenmesi

Nihai Normalleştirme

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Standard Normal Distribution

Frequently Asked Questions

Sources