Mathematicsİstatistik ve Regresyon AnaliziUniversity

Basit Doğrusal Regresyon Doğrusu

Bu denklem, iki değişken arasındaki doğrusal bir ilişki için gözlemlenen ve tahmin edilen değerler arasındaki kareli kalıntıların toplamını en aza indiren en uygun doğruyu tanımlar.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

\overset{y}{^} = b_{0} + b_{1} x where b_{1} = \frac{n \sum x y - ( \sum x ) ( \sum y )}{n \sum x ^{2} - ( \sum x ) ^{2}} and b_{0} = \overset{y}{ˉ} - b_{1} \overset{x}{ˉ}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

Regresyon doğrusu, hataların varyansını en aza indirmeyi amaçlayan En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanılarak hesaplanır. Eğim, b1, x'teki bir birim değişikliği başına y'deki beklenen değişikliği temsil ederken, kesişim noktası, b0, x sıfır olduğunda y'nin tahmin edilen değerini gösterir. Bu parametreler birlikte, bir veri kümesindeki doğrusal eğilimi karakterize eder.

When to use: İki sürekli değişken arasındaki ilişkiyi modellemeniz ve doğrusal eğilimlere dayalı gelecekteki sonuçları tahmin etmeniz gerektiğinde bunu kullanın.

Why it matters: Tahmine dayalı analitik için temel bir araçtır ve araştırmacıların ve işletmelerin eğilimleri tahmin etmesini ve değişkenler arasındaki ilişkilerin gücünü nicelleştirmesini sağlar.

Symbols

Variables

y^ = Predicted Value, $b_{1}$ = Slope, $b_{0}$ = Y-Intercept, x = Independent Variable, n = Sample Size

Predicted Value

Variable

b_{1}

Slope

Variable

b_{0}

Y-Intercept

Variable

x

Independent Variable

Variable

n

Sample Size

Variable

\overset{y}{^}

\hat{y}

Variable

Walkthrough

Derivation

Basit Doğrusal Regresyon Doğrusunun Türetilmesi

Bu türetme, gözlemlenen veri noktaları ile doğrusal regresyon modeli arasındaki kareli kalıntıların toplamını en aza indirmek için En Küçük Kareler Yöntemi'ni kullanır.

x ve y değişkenleri arasındaki ilişki doğrusaldır.
Hatalar bağımsızdır ve sıfır ortalamalı aynı dağılıma sahiptir.

Kareli Kalıntılar Toplamını (SSR) Tanımlama

S hedef fonksiyonunu, her bir gözlemlenen $y_{i}$ veri noktası ile regresyon doğrusu üzerindeki tahmin edilen değer arasındaki dikey mesafelerin karelerinin toplamı olarak tanımlarız.

S (b_{0}, b_{1}) = i = 1 \sum n (y_{i} - (b_{0} + b_{1} x_{i}))^{2}

Note: Kareli kalıntıları en aza indirmek, pozitif ve negatif sapmaların birbirini yok etmemesini sağlar.

b_0'a göre Kısmi Türevleme

S'i en aza indirmek için $b_{0}$ 'a göre kısmi türevini alır ve sıfıra eşitleriz; bu, kesim noktası için normal denkleme yol açar.

\frac{\partial S}{\partial b _{0}} = - 2 i = 1 \sum n (y_{i} - b_{0} - b_{1} x_{i}) = 0

Note: Bunun sadeleştirilmesi $b_{0}$ = $\overset{y}{ˉ}$ - $b_{1}$ \bar{x} denklemini verir.

b_1'e göre Kısmi Türevleme

Hataları en aza indiren eğimi bulmak için $b_{1}$ 'e göre kısmi türevini alır ve sıfıra eşitleriz.

\frac{\partial S}{\partial b _{1}} = - 2 i = 1 \sum n x_{i} (y_{i} - b_{0} - b_{1} x_{i}) = 0

Note: $b_{1}$ 'i izole etmek için bir önceki adımdaki $b_{0}$ ifadesini bu denklemde yerine koyun.

Sistemi b_1 için Çözme

$b_{0} = \overset{y}{ˉ} - b_{1} \overset{x}{ˉ}$ 'yi ikinci normal denklemde yerine koyup cebirsel olarak çözerek, eğim katsayısı için hesaplama formülünü türetiriz.

b_{1} = \frac{n \sum x _{i} y _{i} - ( \sum x _{i} ) ( \sum y _{i} )}{n \sum x _{i}^{2} - ( \sum x _{i} ) ^{2}}

Note: Bu, $b_{1} = \frac{Cov ( x , y )}{Var ( x )}$ 'e eşdeğerdir.

Result

b_{1} = \frac{n \sum x _{i} y _{i} - ( \sum x _{i} ) ( \sum y _{i} )}{n \sum x _{i}^{2} - ( \sum x _{i} ) ^{2}}

Source: Montgomery, D. C., Peck, E. A., & Vining, G. G. (2012). Introduction to Linear Regression Analysis.

Why it behaves this way

Intuition

Bir dağılım grafiğindeki veri noktalarını havada uçuşan parçacıklar bulutu olarak hayal edin. Regresyon doğrusu, bulutun merkezinden geçen sert, ağırlıklı bir çubuk gibi davranır. Formül, bu çubuğu, çubuk ile buluttaki her nokta arasındaki dikey mesafelerin (karelerinin) toplamı mutlak bir minimuma ulaşana kadar döndüren ve kaydıran bir 'yerçekimi' mekanizması görevi görür.

Term

Tahmin edilen bağımlı değişken

Verilen bir girdi için en iyi uyum doğrusu üzerindeki 'hedef' koordinat; modelin bir veri noktasının nereye düşeceğine dair 'en iyi tahmini' olarak işlev görür.

Term

Eğim (Regresyon Katsayısı)

'Değişim oranı' veya duyarlılık; girdideki her bir birimlik artış için çıktının ne kadar artması veya azalması beklendiğini söyler.

Term

Kesim Noktası

'Temel' değer; girdi sıfır olduğunda çıktının beklenen değeri, doğruyu dikey eksene sabitler.

Term

Örneklem boyutu

Kanıtın ağırlığı; denkleme eğilimin belirlenmesine kaç veri noktasının katkıda bulunduğunu söyler.

Signs and relationships

b_1: $b_{1}$ 'in işareti ilişkinin yönünü gösterir: pozitif, her iki değişkenin aynı yönde hareket ettiği anlamına gelirken; negatif, ters bir ilişkiyi gösterir.
b_0: Bu, tüm doğruyu dikey olarak kaydıran ve doğrunun verilerin merkezinden (ortalamasından) geçmesini sağlayan toplanabilir bir sabittir.

One free problem

Practice Problem

(1, 2), (2, 3) ve (3, 5) veri noktaları verildiğinde, regresyon doğrusunun b1 eğimini hesaplayın.

Hint: Pay n*sum(xy) - sum(x)*sum(y) ve payda n*sum( $x^{2}$ ) - (sum(x))^2'yi ayrı ayrı hesaplayın.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Bir ekonomist, pazarlama harcaması ile toplam satış geliri arasındaki ilişkiyi modellemek için bu denklemi kullanarak belirli bir bütçenin ne kadar gelir getireceğini tahmin eder.

Study smarter

Tips

İlişkinin gerçekten doğrusal olduğundan emin olmak için her zaman önce bir saçılma grafiği oluşturun.
Aykırı değerleri kontrol edin, çünkü bunlar regresyon doğrusunun eğimini orantısız bir şekilde etkileyebilir.
Doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü nicelleştirmek için korelasyon katsayısını (r) hesaplayın.

Avoid these traps

Common Mistakes

Güçlü bir korelasyonun nedenselliği ima ettiğini varsaymak.
Regresyon doğrusunu gözlemlenen x verilerinin aralığının çok ötesine ekstrapole etmek.

Common questions

Frequently Asked Questions

Bu türetme, gözlemlenen veri noktaları ile doğrusal regresyon modeli arasındaki kareli kalıntıların toplamını en aza indirmek için En Küçük Kareler Yöntemi'ni kullanır.

İki sürekli değişken arasındaki ilişkiyi modellemeniz ve doğrusal eğilimlere dayalı gelecekteki sonuçları tahmin etmeniz gerektiğinde bunu kullanın.

Tahmine dayalı analitik için temel bir araçtır ve araştırmacıların ve işletmelerin eğilimleri tahmin etmesini ve değişkenler arasındaki ilişkilerin gücünü nicelleştirmesini sağlar.

Güçlü bir korelasyonun nedenselliği ima ettiğini varsaymak. Regresyon doğrusunu gözlemlenen x verilerinin aralığının çok ötesine ekstrapole etmek.

Bir ekonomist, pazarlama harcaması ile toplam satış geliri arasındaki ilişkiyi modellemek için bu denklemi kullanarak belirli bir bütçenin ne kadar gelir getireceğini tahmin eder.

İlişkinin gerçekten doğrusal olduğundan emin olmak için her zaman önce bir saçılma grafiği oluşturun. Aykırı değerleri kontrol edin, çünkü bunlar regresyon doğrusunun eğimini orantısız bir şekilde etkileyebilir. Doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü nicelleştirmek için korelasyon katsayısını (r) hesaplayın.

References

Sources

Montgomery, D. C., Peck, E. A., & Vining, G. G. (2012). Introduction to Linear Regression Analysis.
Freedman, D., Pisani, R., & Purves, R. (2007). Statistics.