EngineeringAkışkanlar DinamiğiUniversity

IBUndergraduate

Kararsız Durum Couette Akışı

Bu denklem, iki sonsuz paralel plaka arasında hapsolmuş viskoz bir akışkanın zamana bağlı hız dağılımını tanımlar; burada plakalar aniden harekete geçirilir.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

(\frac{\partial v _{x}}{\partial t})_{y} = ν (\frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}})_{t}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

Denklem, Navier-Stokes denklemlerinin özel bir uygulamasıdır ve plakalar paralelindeki hız bileşeni için difüzyon tipi kısmi diferansiyel denkleme indirgenir. Bu, hız profilinin zamanla başlangıç durumundan kararlı durumdaki doğrusal bir profile doğru gelişmesiyle kinetik viskozite tarafından yönlendirilen momentum difüzyon sürecini hesaba katar. Bu evrimi anlamak, sınır koşullarındaki ani değişikliklere maruz kalan akışkan sistemlerinin geçici davranışını belirlemek için kritik öneme sahiptir.

When to use: Plaka hızının aniden başlamasını veya değişmesini takiben, paralel sınırlar arasındaki sıkıştırılamaz bir Newton akışkanının geçici hız profilini analiz ederken bu denklemi kullanın.

Why it matters: Viskoz difüzyon yoluyla momentum taşınmasının temel mekanizmasını modeller, bu da zamanla bir akışkan boyunca kayma etkilerinin nasıl yayıldığını yönetir.

Walkthrough

Derivation

Kararlı Olmayan Durum Couette Akışının Türetilmesi

Bu türetme, Navier-Stokes denklemlerinin Couette akışının belirli kısıtlamaları altında hız için kararlı olmayan difüzyon denklemine nasıl sadeleştiğini gösterir.

Akış tek yönlüdür ( $v_{x}$ = $v_{x}$ (y, t), $v_{y}$ = 0, $v_{z}$ = 0)
Akış yönünde basınç gradyanı yoktur
Sabit akışkan özellikleri (yoğunluk ve viskozite)

Navier-Stokes denklemi ile başlayın

Bir Newtonyen akışkan için genel momentum dengesi ile başlıyoruz, burada rho yoğunluk, v hız vektörü, p basınç, mu dinamik viskozite ve f ise cisim kuvvetlerini temsil eder.

ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot \nabla) v) = - \nabla p + μ \nabla^{2} v + f

Note: Bu, akışkanlar mekaniği için temel hareket denklemidir.

Akış varsayımlarını uygula

Vektör denklemini x bileşenine genişletiyoruz. $v_{y}$ = $v_{z}$ = 0 ve akışın tam gelişmiş olduğu (yani hızın x yönünde değişmediği, bu nedenle kısmi $v_{x}$ / kısmi x = 0) varsayımları verildiğinde, konvektif ivme terimleri kaybolur.

ρ (\frac{\partial v _{x}}{\partial t} + v_{x} \frac{\partial v _{x}}{\partial x} + v_{y} \frac{\partial v _{x}}{\partial y} + v_{z} \frac{\partial v _{x}}{\partial z}) = - \frac{\partial p}{\partial x} + μ (\frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial z ^{2}})

Note: Sıkıştırılamaz bir akışkan için süreklilik denklemi (div v = 0), eğer $v_{y}$ = $v_{z}$ = 0 ise, $v_{x}$ 'nin x'e bağlı olamayacağını doğrular.

Son hale sadeleştir

Basınç gradyanı olmadığında (kısmi p / kısmi x = 0) ve cisim kuvvetleri ihmal edildiğinde, yoğunluğa böleriz. Kinematik viskoziteyi nu = mu / rho olarak tanımlayarak, hız için zamana bağlı difüzyon denklemine ulaşırız.

\frac{\partial v _{x}}{\partial t} = \frac{μ}{ρ} \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}}

Note: Bu denklem matematiksel olarak ısı iletimi denklemiyle aynıdır.

Result

\frac{\partial v _{x}}{\partial t} = \frac{μ}{ρ} \frac{\partial ^{2} v _{x}}{\partial y ^{2}}

Why it behaves this way

Intuition

Akışkan katmanlarını temsil eden ince oyun kartlarından oluşan bir deste hayal edin. Üstteki kartı aniden yana kaydırmak, yavaşça aşağıdaki kartlara sızan bir hareket 'dalgası' yaratır. Denklem, hızın bu dikey 'sızıntısını' yakalar: hızdaki yerel zamanla değişim, mevcut hız profilinin ne kadar eğri olduğu tarafından yönlendirilir. Zaman sonsuza yaklaştıkça, sınırdaki keskin sıçramadan düz, düzgün bir çapraz çizgiye dönüşür.

Term

Akışkanın yerel ivmesi

Belirli bir yükseklikteki akışkanın, üstteki hareketli plakadan gelen sürtünmeyi hissettiğinde ne kadar hızlı 'hızlandığı'.

Term

Kinematik viskozite

Akışkanın 'momentum yayılabilirliği' veya 'yağlılığı'. Hareket bilgisinin akışkan kütlesi içinde ne kadar hızlı yayıldığını belirler.

Term

Hız profilinin eğriliği

Bir akışkan tabakasının üst ve alt kısımları arasındaki kayma kuvvetleri farkının bir ölçüsüdür. Hız profilinde bir 'bükülme' varsa, bu, o tabakayı hızlandırmak için etki eden bir net kuvvet olduğu anlamına gelir.

Signs and relationships

ν > 0: Viskozite pozitif olmalıdır çünkü akışa karşı fiziksel direnci temsil eder; negatif bir viskozite, akışkanın kendiliğinden enerji ürettiği ve kendi başına hızlandığı anlamına gelir.
\frac{∂ v_x}{∂ t} ∝ \frac{∂^2 v_x}{∂ y^2}: Bu terimler arasındaki pozitif işaret, bir yumuşatma sürecini gösterir. Akışkan, keskin gradyanları azaltan yönlerde hızlanır ve sistemi doğrusal, kararlı durum profiline doğru hareket ettirir.

One free problem

Practice Problem

Bir akışkanın kinetik viskozitesi artarsa, akışın kararlı durum Couette profiline ulaşması için gereken süre nasıl değişir?

Hint: Viskozite ile momentumun difüzyon oranı arasındaki ilişkiyi düşünün.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

İlk vuruş sırasında içten yanmalı bir motordaki piston ile silindir duvarı arasındaki bir yağlama filminin aniden hızlanması.

Study smarter

Tips

Geçici faz boyunca akışın laminer kaldığından emin olun.
t=0 ve y=0/y=L'deki sınır koşullarının benzersiz bir çözüm sağlamak üzere tanımlandığını kontrol edin.
Tek boyutlu ısı iletim denklemine olan matematiksel benzerliği fark edin.

Avoid these traps

Common Mistakes

Geçici faz boyunca her zaman hız profilinin doğrusal olduğunu varsaymak.
Kararlı duruma ulaşmak için gereken sürede kinetik viskozitenin etkisini ihmal etmek.

Common questions

Frequently Asked Questions

Bu türetme, Navier-Stokes denklemlerinin Couette akışının belirli kısıtlamaları altında hız için kararlı olmayan difüzyon denklemine nasıl sadeleştiğini gösterir.

Plaka hızının aniden başlamasını veya değişmesini takiben, paralel sınırlar arasındaki sıkıştırılamaz bir Newton akışkanının geçici hız profilini analiz ederken bu denklemi kullanın.

Viskoz difüzyon yoluyla momentum taşınmasının temel mekanizmasını modeller, bu da zamanla bir akışkan boyunca kayma etkilerinin nasıl yayıldığını yönetir.

Geçici faz boyunca her zaman hız profilinin doğrusal olduğunu varsaymak. Kararlı duruma ulaşmak için gereken sürede kinetik viskozitenin etkisini ihmal etmek.

İlk vuruş sırasında içten yanmalı bir motordaki piston ile silindir duvarı arasındaki bir yağlama filminin aniden hızlanması.

Geçici faz boyunca akışın laminer kaldığından emin olun. t=0 ve y=0/y=L'deki sınır koşullarının benzersiz bir çözüm sağlamak üzere tanımlandığını kontrol edin. Tek boyutlu ısı iletim denklemine olan matematiksel benzerliği fark edin.

References

Sources

Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N., Transport Phenomena, 2nd Edition, Wiley.
White, F. M., Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill Education.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
White, Frank M. (2011). Fluid Mechanics (7th ed.). McGraw-Hill.
NPTEL (National Programme on Technology Enhanced Learning) - Fluid Mechanics Course

Kararsız Durum Couette Akışı

Overview

Derivation

Navier-Stokes denklemi ile başlayın

Akış varsayımlarını uygula

Son hale sadeleştir

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Bernoulli's Equation

Free Slip Boundary Condition

Hagen-Poiseuille Equation

Radial Pressure Distribution

Frequently Asked Questions

Sources