EngineeringAkışkanlar MekaniğiUniversity

IBUndergraduate

Radyal Basınç Dağılımı

Dönen akışa sahip iki eş merkezli silindir arasındaki radyal bir boşlukta bir akışkanın basınç profilini hesaplar.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

Bu denklem, halka şeklindeki bir alanda dönme hareketine maruz kalan bir akışkan tabakasındaki uzamsal basınç değişimini modeller. Akışkan yoğunluğu, açısal hız ve iç ve dış silindir kısıtlamaları tarafından tanımlanan yarıçap oranının etkilerini hesaba katar. İfade, sistem içindeki bir referans noktasına göre basınç farklarını belirlemek için kapalı biçimli bir çözüm sağlar.

When to use: Dönen eş merkezli silindirler arasındaki halka bölgesinde kararlı, sıkıştırılamaz, laminer akışı analiz ederken kullanın.

Why it matters: Yatakların, conta boşluklarının tasarımı ve dönen makinelerde tork iletiminin anlaşılması için çok önemlidir.

Symbols

Variables

P - $P_{κ R}$ = Pressure Difference, $ρ$ = Fluid Density, $Ω_{0}$ = Angular Velocity, $κ$ = Radius Ratio, R = Outer Radius

P - P_{κ R}

Pressure Difference

ρ

Fluid Density

k g / m^{3}

Ω_{0}

Angular Velocity

rad/s

κ

Radius Ratio

dimensionless

R

Outer Radius

m

r

Radial Position

m

Walkthrough

Derivation

Radyal Basınç Dağılımının Türetilmesi

Bu türetme, sabit, sıkıştırılamaz, viskoz olmayan bir girdap akışı için radyal momentum denkleminin entegre edilmesiyle bir akışkan akışındaki radyal basınç profilini belirler.

Eksenel simetrik akış (özellikler yalnızca r yarıçapına bağlıdır)
Akış alanı belirli bir hız dağılımı ile tanımlanır

Radyal Momentum Denklemi

Kararlı, eksenel simetrik, viskoz olmayan akış için kutupsal koordinatlarda, Navier-Stokes denkleminin radyal bileşeni basınç gradyanı ile merkezkaç ivmesi arasındaki dengeye indirgenir.

\frac{d P}{d r} = ρ \frac{v _{θ}^{2}}{r}

Note: Bu, dönen bir akışkandaki basınç için temel yönetim denklemidir.

Hız Profili Yerine Koyma

Belirli teğetsel hız profilini $v_{θ} (r)$ radyal momentum denklemine yerine koyarız. Bu profil iki yarıçap arasındaki birleşik girdap akışını temsil eder.

v_{θ} (r) = \frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}} (\frac{r}{κ R} - \frac{κ R}{r})

Note: Hız birimlerinin basınç birimleriyle tutarlı olduğundan emin olun.

Integration

Basınç gradyanını bir referans yarıçapı $κ R$ 'den (basıncın $P_{κ R}$ olduğu yer) keyfi bir yarıçap $r$ 'e kadar entegre ederiz. Bu adım, merkezkaç kuvvetleri tarafından yapılan işe dayalı olarak basınç farkını hesaplar.

\int_{P_{κ R}}^{P} d P = \int_{κ R}^{r} ρ \frac{v _{θ} ( r ) ^{2}}{r} d r

Note: İntegralin sınırları referans basınç noktasıyla eşleşmelidir.

Son Cebirsel Açılım

Kare hız teriminin açılımı ve integralin gerçekleştirilmesi, radyal basınç dağılımı için son ifadeyi verir.

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Note: Logaritmik terim, hız karesi teriminin $1/ r$ bileşeninin integralinden kaynaklanır.

Result

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Visual intuition

Graph

Basınç farkı, içinde kareli, ters kareli ve logaritmik terimler bulunan dış yarıçap R'nin karmaşık bir fonksiyonudur. Bir öğrenci için bu, basınç farkı ile dış yarıçap arasındaki ilişkinin basit bir doğru olmadığı ve yön değiştirebileceği anlamına gelir. En önemli özellik, dış yarıçap değiştikçe basınç farkının nasıl davrandığı ve doğrusal olmayan, potansiyel olarak monoton olmayan bir eğilim göstermesidir. Bu denklem, belirli mühendislik senaryolarında basıncın mesafe ile nasıl değiştiğini anlamaya yardımcı olur.

Graph type: other

Why it behaves this way

Intuition

Görsel sezgi: hayal edin fluid trapped içinde gap arasında two concentric cylinders. inner cylinder sahiptir radius nin κR ve outer one sahiptir radius nin R. olarak cylinders rotate, fluid dir 'flung' outward tarafından centrifugal effects, but dir constrained tarafından walls. bu creates basınç gradient burada basınç increases olarak sen move den inner wall (κR) toward outer regions, similar e nasıl air basınç içinde centrifuge increases toward outer edge. Temel büyüklükler P - $P_{κ R}$ , ρ, Ω₀, κ, r / κR olarak izlenir.

Term

Fiziksel anlam birinci: Gauge basınç relative e inner cylinder surface. Bağlam: Derivation nin Radial basınç Distribution.

Sezgisel açıklama birinci: net 'squeeze' felt tarafından fluid de herhangi nokta r compared e basınç de starting nokta nin inner wall. Bağlam: Derivation nin Radial basınç Distribution.

Term

Fiziksel anlam ikinci: Fluid yoğunluk Bağlam: Derivation nin Radial basınç Distribution.

Sezgisel açıklama ikinci: Heavier fluids (like oil vs air) sahiptir daha kütle e olur slung outward, resulting içinde çok higher basınç differences için same rotation speed. Bağlam: Derivation nin Radial basınç Distribution.

Term

Fiziksel anlam üçüncü: Angular hız nin rotation. Bağlam: Derivation nin Radial basınç Distribution.

Sezgisel açıklama üçüncü: bu determines strength nin centrifugal kuvvet; çünkü o dir squared, doubling spin speed quadruples basınç difference. Bağlam: Derivation nin Radial basınç Distribution.

Term

Fiziksel anlam dördüncü: Radius oran (Inner Radius / Outer Radius). Bağlam: Derivation nin Radial basınç Distribution.

Sezgisel açıklama dördüncü: measure nin nasıl 'thin' veya 'thick' annular gap dir. eğer κ dir close e 1, gap dir very narrow; eğer κ dir close e 0, inner cylinder dir just thin wire. Bağlam: Derivation nin Radial basınç Distribution.

Term

Fiziksel anlam beşinci: Dimensionless radial position. Bağlam: Derivation nin Radial basınç Distribution.

Sezgisel açıklama beşinci: oran nin burada sen dır currently measuring (r) e burada fluid starts (inner radius). o tells formül nasıl far içine gap sen sahiptir traveled. Bağlam: Derivation nin Radial basınç Distribution.

Signs and relationships

P - P_{κR}: İşaret gerekçesi birinci: bu değer dir typically pozitif olarak sen move outward (r > κR) çünkü centrifugal kuvvet pushes fluid against outer boundaries, building up basınç.
1 - κ²: İşaret gerekçesi ikinci: bu payda terim ensures şu olarak gap arasında cylinders disappears (κ approaches 1), basınç required e move fluid boyunca şu infinitely small uzay approaches infinity.

One free problem

Practice Problem

Aynı açısal hız ve geometri korunurken, akışkan yoğunluğu artırılırsa bir halka boşluğundaki basınç dağılımı nasıl değişir?

Hint: Basınç dağılımı formülündeki yoğunluk (rho) teriminin rolünü inceleyin.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Yüksek hızlı dönen bir mekanik salmastra içindeki yağlama yağı filminin basınç yükü dağılımını belirlemek.

Study smarter

Tips

Hesaplamadan önce uzunluk (r, R) için tüm birimlerin tutarlı olduğundan emin olun.
Yarıçap oranı kappa'nın 0 ile 1 arasında olup olmadığını kontrol edin.
Akış rejiminin laminer olduğundan emin olun, çünkü türbülanslı akış farklı ampirik korelasyonlar gerektirir.

Avoid these traps

Common Mistakes

Kappa parametresi içindeki iç ve dış yarıçapları karıştırmak.
Dönüş hızını RPM'den rad/s'ye (Omega_0) dönüştürmeyi ihmal etmek.
Referans basıncı P_kappaR ile yerel basıncı P karıştırmak.

Common questions

Frequently Asked Questions

Bu türetme, sabit, sıkıştırılamaz, viskoz olmayan bir girdap akışı için radyal momentum denkleminin entegre edilmesiyle bir akışkan akışındaki radyal basınç profilini belirler.

Dönen eş merkezli silindirler arasındaki halka bölgesinde kararlı, sıkıştırılamaz, laminer akışı analiz ederken kullanın.

Yatakların, conta boşluklarının tasarımı ve dönen makinelerde tork iletiminin anlaşılması için çok önemlidir.

Kappa parametresi içindeki iç ve dış yarıçapları karıştırmak. Dönüş hızını RPM'den rad/s'ye (Omega_0) dönüştürmeyi ihmal etmek. Referans basıncı P_kappaR ile yerel basıncı P karıştırmak.

Yüksek hızlı dönen bir mekanik salmastra içindeki yağlama yağı filminin basınç yükü dağılımını belirlemek.

Hesaplamadan önce uzunluk (r, R) için tüm birimlerin tutarlı olduğundan emin olun. Yarıçap oranı kappa'nın 0 ile 1 arasında olup olmadığını kontrol edin. Akış rejiminin laminer olduğundan emin olun, çünkü türbülanslı akış farklı ampirik korelasyonlar gerektirir.

References

Sources

Fundamentals of Fluid Mechanics, 8th Edition, Munson, Young, and Okiishi.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Fluid dynamics
White, Frank M. Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education, 2016.
Munson, Bruce R., et al. Fundamentals of Fluid Mechanics. John Wiley & Sons, 2016.

Radyal Basınç Dağılımı

Overview

Variables

Derivation

Radyal Momentum Denklemi

Hız Profili Yerine Koyma

Integration

Son Cebirsel Açılım

Graph

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Bernoulli's Equation

Free Slip Boundary Condition

Hagen-Poiseuille Equation

Unsteady state Couette flow

Frequently Asked Questions

Sources