حقل متجهي محافظ Calculator

Formula first

Overview

في حساب المتجهات، يُعرّف الحقل المتجهي F بأنه محافظ إذا كانت هناك دالة قياسية f، تُعرف بالدالة الكامنة، بحيث F تساوي تدرج f. هذه الخاصية تعني أن تكامل المسار للحقل بين نقطتين لا يعتمد على المسار المتخذ. وبالتالي، فإن تكامل المسار للحقل المحافظ على طول أي حلقة مغلقة يساوي صفرًا.

Apply it well

When To Use

When to use: استخدم هذا المفهوم عند تحديد ما إذا كان الحقل المتجهي مستقلاً عن المسار أو عند محاولة تبسيط تكاملات المسار عن طريق إيجاد دالة كامنة.

Why it matters: إنه يبسط حساب العمل والطاقة في الفيزياء، حيث يعتمد العمل الذي تبذله القوة المحافظة فقط على نقاط النهاية للمسار، وليس على المسار نفسه.

Avoid these traps

Common Mistakes

• افتراض أن الحقل المتجهي محافظ لمجرد أن دورانه صفر دون التحقق مما إذا كان النطاق متصلاً ببساطة.
• الخلط بين الدالة الكامنة f والحقل المتجهي F نفسه.

One free problem

Practice Problem

إذا كان الحقل المتجهي F محافظًا، فما هي قيمة تكامل المسار للحقل F على طول أي مسار مغلق C؟

Hint: ضع في اعتبارك النظرية الأساسية لتكاملات المسار.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Keep going

Related Formulas

References

Sources

1. Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.
2. Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2011). Vector Calculus (6th ed.). W. H. Freeman and Company.
3. Stewart, J. (2015). Multivariable Calculus.
4. Marsden, J. E., & Tromba, A. (2012). Vector Calculus.
5. Wikipedia: Conservative vector field
6. Wikipedia: Gradient
7. Wikipedia, "Conservative vector field"
8. NIST Digital Library of Mathematical Functions, Chapter 25: Vector Calculus