Mathematicsحساب المتجهاتUniversity

AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

نظرية جرين

تربط التكامل الخطي حول منحنى مغلق بتكامل مزدوج على المنطقة التي يحيط بها.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

\oint_{C} (L d x + M d y) = \iint_{D} (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}) d A

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

تؤسس نظرية جرين اتصالًا أساسيًا بين التكامل الخطي حول منحنى مغلق بسيط والتكامل المزدوج على المنطقة المستوية التي يحيط بها. وهي في الأساس نسخة ثنائية الأبعاد من نظرية ستوكس وتستخدم لربط الدوران أو الدوران المحلي في حقل متجه بالالتفاف الصافي على مساحة.

When to use: طبق هذه النظرية عند تقييم تكامل خطي على منحنى مغلق، أملس قطعيًا في المستوى xy حيث يكون تكامل المساحة للالتفاف أسهل في الحساب. تتطلب وظائف المكونات L و M أن تكون لها مشتقات جزئية من الرتبة الأولى مستمرة في جميع أنحاء المنطقة المحدودة بالمنحنى.

Why it matters: إنها ضرورية لحساب الشغل والدوران في الفيزياء وديناميكا الموائع دون الحاجة إلى تحديد مسارات الحدود المعقدة بشكل فردي. كما توفر أساسًا رياضيًا لاستخدام التكاملات الخطية لحساب مساحة الأشكال غير المنتظمة، وهو المبدأ التشغيلي وراء جهاز البلانيميتر.

Symbols

Variables

$Concept-only$ = Note

Concept-only

Note

Variable

Walkthrough

Derivation

إثبات نظرية غرين لمنطقة بسيطة

نثبت نظرية غرين لمنطقة من النوع الأول والنوع الثاني عن طريق حساب تكامل الخط على طول الحدود وإظهار أنه يساوي التكامل الثنائي للمشتقات الجزئية.

C منحنى مغلق بسيط، أملس قطعيًا، وموجه إيجابياً.
P(x,y) و Q(x,y) لهما مشتقات جزئية مستمرة في منطقة مفتوحة تحتوي على D.

1. تفكيك التكامل

يمكننا إثبات النظرية في جزأين مستقلين: إظهار أن $\oint L d x = - \iint \frac{\partial L}{\partial y} d A$ و $\oint M d y = \iint \frac{\partial M}{\partial x} d A$ .

\oint_{C} (L d x + M d y) = \oint_{C} L d x + \oint_{C} M d y

2. إعداد تكامل المساحة لـ L

افترض أن المنطقة $D$ محددة بـ $y = g_{1} (x)$ من الأسفل و $y = g_{2} (x)$ من الأعلى، بين $x = a$ و $x = b$ .

\iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \frac{\partial L}{\partial y} d y d x

3. تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

تكامل المشتقة الجزئية $\frac{\partial L}{\partial y}$ بالنسبة لـ $y$ يعطي ببساطة الدالة $L$ مقيمة عند الحدود العليا والسفلى.

\int_{a}^{b} [L (x, g_{2} (x)) - L (x, g_{1} (x))] d x

4. الربط بتكامل الخط

تكامل الخط على طول المسار السفلي $g_{1}$ يمتد من $a$ إلى $b$ ، بينما يمتد المسار العلوي $g_{2}$ للخلف من $b$ إلى $a$ (للحفاظ على الاتجاه عكس عقارب الساعة). عكس حدود التكامل العلوي يغير إشارته.

- \oint_{C} L (x, y) d x = - (\int_{a}^{b} L (x, g_{1} (x)) d x + \int_{b}^{a} L (x, g_{2} (x)) d x)

5. الخاتمة

دمج النتيجتين المستمدتين عبر منطق متطابق مطبق على المحورين $x$ و $y$ يعطي البيان النهائي لنظرية غرين.

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Result

\oint_{C} L d x = - \iint_{D} \frac{\partial L}{\partial y} d A and \oint_{C} M d y = \iint_{D} \frac{\partial M}{\partial x} d A

Source: Standard curriculum — Vector Calculus

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\oint P d x + Q d y$

اجعل oint P dx + Q dy موضوع المعادلة

\oint P d x + Q d y = \iint (Q_{x} - P_{y}) d A

توضح عملية إعادة الترتيب هذه الاختلافات التدوينية الشائعة في نظرية جرين، وتحويل النموذج الأولي باستخدام $L$ و $M$ إلى نموذج أكثر إحكاما باستخدام $P$ ، $Q$ ، والترميز المنخفض للمشتقات الجزئية.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل منطقة في المستوى مملوءة بمائع جارٍ؛ تنص مبرهنة غرين على أن الدوران الصافي الكلي للمائع داخل المنطقة بأكملها يساوي تمامًا التدفق الصافي للمائع على طول حدها الخارجي.

Term

الدوران الكلي لحقل المتجه ثنائي الأبعاد F = <L, M> حول المنحنى المغلق البسيط C.

يقيس «الدفع» أو «التدفق» الصافي للمجال المتجهي على طول الحد C. تخيل عجلة مجداف صغيرة على المنحنى؛ فهذا الحد يكمّم دورانها الصافي أثناء اجتيازها الحد بأكمله.

Term

المركبة z لدوران (curl) ثنائي الأبعاد لحقل المتجه F = <L, M>، والتي تمثل كثافة الدوران المتناهية الصغر عند نقطة.

يحدد كمية 'الدوران المحلي' أو 'الدوامية' لحقل المتجه عند نقطة متناهية الصغر داخل المنطقة. القيمة الموجبة تشير عادة إلى دوران عكس اتجاه عقارب الساعة.

Term

المجموع الكلي لجميع الدورانات المتناهية في الصغر (الدوّار) على كامل المنطقة D المحاطة بـ C.

يجمع كل «الدوامات» أو «الدورانات» الصغيرة التي تحدث عند كل نقطة داخل المنطقة D للحصول على مقياس كلي للدوران الداخلي.

Signs and relationships

(∂ M / ∂ x - ∂ L / ∂ y): هذا الفرق المحدد يعرف الدوران القياسي (أو المركبة z لدوران ثنائي الأبعاد) لحقل المتجه F = <L, M>. ترتيب الطرح حاسم ويتوافق مع اتجاه دوران عكس عقارب الساعة.

Free study cues

Insight

Canonical usage

تُستخدم لربط تكامل خطي حول منحنى مغلق بتكامل مزدوج فوق المنطقة المحصورة، حيث يجب أن يحافظ طرفا المعادلة على أبعاد فيزيائية متسقة تحددها طبيعة المتجه

One free problem

Practice Problem

احسب التكامل الخطي ∮_C (y² dx + x² dy) حيث C هو حد المستطيل المعرف بـ 0 ≤ x ≤ 2 و 0 ≤ y ≤ 3، الموجه عكس اتجاه عقارب الساعة.

Hint: حول التكامل الخطي إلى تكامل مزدوج للتعبير (∂M/∂x − ∂L/∂y) على المنطقة المستطيلة.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق حساب الشغل المبذول بواسطة حقل قوة، تُستخدم معادلة نظرية جرين لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

تأكد من أن المنحنى مغلق وموجه عكس اتجاه عقارب الساعة للحصول على نتيجة موجبة.
تحقق من أن دوال الحقل المتجه مستمرة في المنطقة بأكملها المحاطة بالمنحنى.
استخدم المتطابقة حيث تساوي المساحة التكامل الخطي لـ x dy أو -y dx لتبسيط مسائل المساحة.
تحقق من أن المنطقة متصلة بشكل بسيط قبل تطبيق الشكل القياسي للنظرية.

Avoid these traps

Common Mistakes

الاستخدام للمنحنيات المفتوحة.
علامة خاطئة (اتجاه عقارب الساعة).

Common questions

Frequently Asked Questions

طبق هذه النظرية عند تقييم تكامل خطي على منحنى مغلق، أملس قطعيًا في المستوى xy حيث يكون تكامل المساحة للالتفاف أسهل في الحساب. تتطلب وظائف المكونات L و M أن تكون لها مشتقات جزئية من الرتبة الأولى مستمرة في جميع أنحاء المنطقة المحدودة بالمنحنى.

إنها ضرورية لحساب الشغل والدوران في الفيزياء وديناميكا الموائع دون الحاجة إلى تحديد مسارات الحدود المعقدة بشكل فردي. كما توفر أساسًا رياضيًا لاستخدام التكاملات الخطية لحساب مساحة الأشكال غير المنتظمة، وهو المبدأ التشغيلي وراء جهاز البلانيميتر.

الاستخدام للمنحنيات المفتوحة. علامة خاطئة (اتجاه عقارب الساعة).

تأكد من أن المنحنى مغلق وموجه عكس اتجاه عقارب الساعة للحصول على نتيجة موجبة. تحقق من أن دوال الحقل المتجه مستمرة في المنطقة بأكملها المحاطة بالمنحنى. استخدم المتطابقة حيث تساوي المساحة التكامل الخطي لـ x dy أو -y dx لتبسيط مسائل المساحة. تحقق من أن المنطقة متصلة بشكل بسيط قبل تطبيق الشكل القياسي للنظرية.

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
Wikipedia: Green's theorem
Stewart, Calculus: Early Transcendentals
Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
Britannica, Green's theorem
Wikipedia, Green's theorem

نظرية جرين

Overview

Variables

Derivation

1. تفكيك التكامل

2. إعداد تكامل المساحة لـ L

3. تطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

4. الربط بتكامل الخط

5. الخاتمة

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Divergence Theorem

Curl (concept)

Frequently Asked Questions

Sources