Mathematicsحساب المتجهاتUniversity

AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

نظرية التباعد

تربط التدفق الخارجي لحقل متجه عبر سطح مغلق بتباعد حجمه.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

\iint_{S} F \cdot d S = ∭_{V} (\nabla \cdot F) d V

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

تربط نظرية التباعد، والمعروفة أيضًا بنظرية غاوس، التدفق الخارجي الصافي لحقل متجه عبر سطح مغلق بتكامل حجم تباعد الحقل داخل هذا السطح. إنها تحول حساب الحدود إلى حساب تراكم داخلي، وتعمل كامتداد ثلاثي الأبعاد للنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

When to use: تطبق هذه النظرية عند حساب التدفق الكلي عبر حدود مغلقة وناعمة بشكل قطعي حيث يكون تكامل الحجم للتباعد أسهل في الحساب من التكامل السطحي. وهي صالحة بشكل خاص لحقول المتجهات ذات المشتقات الجزئية المستمرة من الرتبة الأولى داخل المنطقة.

Why it matters: إنها ضرورية لاشتقاق قوانين الحفظ الفيزيائية، مثل قانون غاوس في الكهرومغناطيسية ومعادلة الاستمرارية في ميكانيكا الموائع. من خلال ربط السلوك المحلي (التباعد) بالسلوك العالمي (التدفق)، تسمح للعلماء بالتنبؤ بكيفية تحرك المواد أو القوى عبر الحدود بناءً على المصادر الداخلية.

Symbols

Variables

$Concept-only$ = Note

Concept-only

Note

Variable

Walkthrough

Derivation

إثبات بديهي لنظرية التباعد

يُظهر أن التدفق الخارجي الكلي عبر الحدود هو مجموع لانهائي للتباعدات المجهرية داخل الحجم.

V منطقة صلبة يحدها سطح أملس جزئيًا، مغلق S.
$F$ لديه مشتقات جزئية مستمرة على منطقة تحتوي على V.
$n$ هو المتجه الطبيعي الخارجي الوحدوي على S.

1. تعريف التدفق المجهري

يُعرَّف تباعد المجال المتجه عند نقطة رسميًا على أنه نهاية التدفق الخارجي الصافي لكل وحدة حجم عندما يتقلص الحجم إلى الصفر.

\nabla \cdot F = V \to 0 lim \frac{1}{V} \oint_{S} F \cdot d S

2. تقريب التدفق لحجم صغير

بالنسبة لحجم كلي صغير جدًا $Δ V_{i}$ ، يكون التدفق الخارجي الكلي تقريبًا مساويًا لتباعده مضروبًا في حجمه.

\oint_{S_{i}} F \cdot d S_{i} \approx (\nabla \cdot F) Δ V_{i}

3. الجمع على العديد من الأجزاء الفرعية

نقوم بتقسيم الحجم الكلي $V$ إلى العديد من الأجزاء الفرعية الصغيرة المجاورة $V_{i}$ ونجمع تدفقاتها الخارجية الفردية.

i \sum \oint_{S_{i}} F \cdot d S_{i} \approx i \sum (\nabla \cdot F) Δ V_{i}

4. إلغاء الحدود الداخلية

عند جمع التدفقات، تواجه أي وجه داخلي مشترك بين جزأين فرعيين تدفقًا في اتجاهين متعاكسين تمامًا. هذه التدفقات الداخلية تلغي بعضها البعض بشكل مثالي، تاركة فقط التدفق عبر الحدود الخارجية $S_{total}$ .

\oint_{S_{total}} F \cdot d S = i \sum (\nabla \cdot F) Δ V_{i}

5. الانتقال إلى التكامل المستمر

بأخذ النهاية عندما تقترب الأجزاء الفرعية من الصفر، يصبح المجموع المنفصل تكاملًا حجميًا، مما ينتج عنه نظرية تباعد غاوس بالضبط.

\oint_{S} F \cdot d S = ∭_{V} (\nabla \cdot F) d V

Result

\oint_{S} F \cdot d S = ∭_{V} (\nabla \cdot F) d V

Source: Standard curriculum — Vector Calculus

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\int_{S} F \cdot n d S$

اجعل Thm موضوع المعادلة

\int_{S} F \cdot n d S = \int_{V} div F d V

توضح هذه المشكلة كيفية التعبير عن نظرية التباعد باستخدام رموز بديلة للتكامل السطحي ومشغل التباعد، وتحويل النموذج الأولي إلى تمثيل مكافئ شائع الاستخدام.

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل وعاءً مغلقًا (السطح S) مليئًا بسائل يمثله المجال المتجه F. تنص النظرية على أن الكمية الإجمالية للسائل المتدفقة إلى الخارج عبر جدران الوعاء تساوي تمامًا مجموع كل مصادر السائل ومغارقه داخل الحجم.

Term

سطح مغلق، أملس جزئيًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

حدود منطقة، مثل جلد البالون، التي يُقاس من خلالها التدفق.

Term

المنطقة ثلاثية الأبعاد (الحجم) المحاطة بالسطح S.

الفضاء الداخلي، مثل الهواء داخل البالون، حيث قد توجد مصادر أو بالوعات للمجال.

Term

مجال متجه، يعين متجهًا لكل نقطة في الفضاء (مثل سرعة السائل، المجال الكهربائي).

يمثل اتجاه وقوة 'تدفق' أو تأثير في كل موقع.

Term

عنصر متجه متناهي الصغر للسطح S؛ مقداره هو مساحة العنصر واتجاهه هو المتجه العمودي الخارجي.

رقعة صغيرة موجهة على السطح، تشير إلى الاتجاه 'للخارج' من الحجم المغلق.

Term

تباعد المجال المتجه F، وهو مجال قياسي يمثل صافي التدفق الخارجي لكل وحدة حجم عند نقطة متناهية الصغر.

يقيس مدى عمل نقطة كمصدر (قيمة موجبة، سائل يتوسع للخارج) أو بالوعة (قيمة سالبة، سائل يتقارب للداخل) للمجال.

Term

عنصر حجم متناهي الصغر داخل المنطقة V.

قطعة صغيرة غير موجهة من الحجم الداخلي حيث يتم تقييم التباعد المحلي.

Term

التكامل السطحي للمكون الطبيعي لـ F على S، ويمثل إجمالي التدفق الخارجي الصافي لـ F عبر السطح المغلق S.

الكمية الإجمالية من 'المادة' (مثل الماء أو الحرارة أو خطوط المجال الكهربائي) التي تتدفق للخارج عبر سطح الحدود بالكامل.

Term

التكامل الحجمي لتباعد F على المنطقة V.

مجموع جميع 'المصادر' و'البالوعات' المحلية للمجال الموزعة في جميع أنحاء الحجم المغلق.

Free study cues

Insight

Canonical usage

تضمن الاتساق البُعدي بين التكامل السطحي لحقل متجهي والتكامل الحجمي لانفراجه.

One free problem

Practice Problem

احسب التدفق الخارجي الكلي للحقل المتجه F = (2x, 2y, 2z) عبر سطح مكعب طول ضلعه 3 وحدات، ومركزه عند نقطة الأصل.

Hint: احسب تباعد الحقل واضربه في حجم المكعب.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق قانون غاوس في الفيزياء، تُستخدم معادلة نظرية التباعد لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

تحقق من أن السطح مغلق تمامًا قبل تطبيق النظرية.
تأكد من أن المتجه العمودي على السطح يشير إلى الخارج حسب الاصطلاح.
احسب التباعد أولاً؛ إذا كان التباعد صفرًا، فإن التدفق الصافي يكون صفرًا تلقائيًا.
استخدم التماثل في حدود الحجم لتبسيط التكامل الثلاثي.

Avoid these traps

Common Mistakes

الاستخدام للأسطح المفتوحة.
اتجاه التدفق (العمودي الخارجي).

Common questions

Frequently Asked Questions

يُظهر أن التدفق الخارجي الكلي عبر الحدود هو مجموع لانهائي للتباعدات المجهرية داخل الحجم.

تطبق هذه النظرية عند حساب التدفق الكلي عبر حدود مغلقة وناعمة بشكل قطعي حيث يكون تكامل الحجم للتباعد أسهل في الحساب من التكامل السطحي. وهي صالحة بشكل خاص لحقول المتجهات ذات المشتقات الجزئية المستمرة من الرتبة الأولى داخل المنطقة.

إنها ضرورية لاشتقاق قوانين الحفظ الفيزيائية، مثل قانون غاوس في الكهرومغناطيسية ومعادلة الاستمرارية في ميكانيكا الموائع. من خلال ربط السلوك المحلي (التباعد) بالسلوك العالمي (التدفق)، تسمح للعلماء بالتنبؤ بكيفية تحرك المواد أو القوى عبر الحدود بناءً على المصادر الداخلية.

الاستخدام للأسطح المفتوحة. اتجاه التدفق (العمودي الخارجي).

تحقق من أن السطح مغلق تمامًا قبل تطبيق النظرية. تأكد من أن المتجه العمودي على السطح يشير إلى الخارج حسب الاصطلاح. احسب التباعد أولاً؛ إذا كان التباعد صفرًا، فإن التدفق الصافي يكون صفرًا تلقائيًا. استخدم التماثل في حدود الحجم لتبسيط التكامل الثلاثي.

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
Wikipedia: Divergence theorem
Introduction to Electrodynamics by David J. Griffiths
Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
Mathematical Methods for Physicists, 7th Edition by George B. Arfken, Hans J. Weber, and Frank E. Harris
Stewart Calculus: Early Transcendentals
Standard curriculum — Vector Calculus

نظرية التباعد

Overview

Variables

Derivation

1. تعريف التدفق المجهري

2. تقريب التدفق لحجم صغير

3. الجمع على العديد من الأجزاء الفرعية

4. إلغاء الحدود الداخلية

5. الانتقال إلى التكامل المستمر

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Green's Theorem

Divergence (concept)

Frequently Asked Questions

Sources