Mathematicsحساب المتجهاتUniversity
AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

الدوران (مفهوم)

قياس متجه للدوران.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough
Open Full WalkthroughTry Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

الدوران هو مؤثر متجه يقيس الدوران المتناهي الصغر لحقل متجه ثلاثي الأبعاد عند نقطة معينة. يمثل كثافة الدوران، حيث يشير اتجاه المتجه إلى محور الدوران ويمثل المقدار شدة الدوامة.

When to use: استخدم الدوران عند تحديد ما إذا كان الحقل المتجه غير دوراني أو محافظ، حيث يجب أن يكون دوران الحقل المحافظ صفرًا. إنه ضروري في ديناميات الموائع لحساب الدوامية وفي الكهرومغناطيسية عند تطبيق معادلات ماكسويل لربط التغيرات المكانية في الحقول بالمكونات المتغيرة مع الزمن.

Why it matters: يوفر طريقة رياضية لتحديد كمية الدوران في الأنظمة الفيزيائية مثل أنماط الرياح الجوية، والتيارات المحيطية، والمجالات المغناطيسية. علاوة على ذلك، فإن الدوران هو المكون المركزي لنظرية ستوكس، التي تحول التكاملات السطحية المعقدة إلى تكاملات خطية أبسط.

Symbols

Variables

= Note

Note
Variable

Walkthrough

Derivation

فهم الالتفاف

الالتفاف هو عامل متجه يقيس الميل المحلي لمجال متجه ثلاثي الأبعاد للدوران حول نقطة.

  • قابل للاشتقاق في منطقة الاهتمام.
1

تعريف الالتفاف:

يُعرّف الالتفاف بأنه حاصل الضرب الاتجاهي للمؤثر دل مع المجال المتجهي.

2

كتابة صيغة مكونة قياسية:

هذا يعطي ميل الدوران حول كل محور، محسوبًا من التغيرات في الاتجاه المتقاطع لمكونات المجال.

3

تفسير الاتجاه والحجم:

يشير متجه الالتفاف إلى المحور الذي ستدور حوله عجلة مجداف صغيرة، ويرتبط مقداره بمدى سرعتها في الدوران.

Result

Source: Standard curriculum — Vector Calculus

Why it behaves this way

Intuition

تخيل عجلة مجداف صغيرة موضوعة في تدفق سائل؛ يشير متجه الالتفاف عند تلك النقطة إلى المحور الذي ستدور حوله عجلة المجداف ويرتبط مقداره بسرعة دورانها.

Term
المؤثر دل، يمثل التفاضل المكاني
يشير إلى كيفية تغير الحقل المتجهي أثناء تحركك عبر الفضاء في اتجاهات مختلفة
Term
مؤثر الضرب الاتجاهي
يجمع المشتقات المكانية لإنتاج متجه جديد اتجاهه عمودي على مستوى المتجهات الأصلية ويرتبط مقداره بمكوناتها العمودية
Term
المجال المتجهي ثلاثي الأبعاد الذي يتم تحليله
يمثل مجموعة من المتجهات، واحد في كل نقطة في الفضاء، مثل متجهات السرعة في مائع أو متجهات المجال الكهربائي

Free study cues

Insight

Canonical usage

يحدد كيفية تحويل وحدات حقل متجهي عند تطبيق مؤثر الالتفاف، وذلك تحديداً بإدخال بُعد طول معكوس.

One free problem

Practice Problem

بالنظر إلى الحقل المتجه F = (5y)i + (12x)j، احسب المركبة z للدوران (out).

Hint: تُحسب المركبة z للدوران لحقل ثنائي الأبعاد على أنها ∂Q/∂x - ∂P/∂y.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق دوامة في الماء، تُستخدم معادلة الدوران (مفهوم) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

  • احسب الدوران باستخدام محدد 3×3 يحتوي على متجهات الوحدة، ومعاملات المشتقة الجزئية، ومكونات الحقل.
  • دوران أي حقل تدرج هو دائمًا المتجه الصفري (∇ ×∇f = 0).
  • طبق دائمًا قاعدة اليد اليمنى لتفسير اتجاه متجه الدوران الناتج.
  • ميز الدوران عن التباعد: الدوران هو متجه يصف الدوران، بينما التباعد هو قيمة قياسية تصف التوسع أو الانكماش.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • الحساب كقيمة قياسية.
  • ترتيب الضرب الاتجاهي.

Common questions

Frequently Asked Questions

الالتفاف هو عامل متجه يقيس الميل المحلي لمجال متجه ثلاثي الأبعاد للدوران حول نقطة.

استخدم الدوران عند تحديد ما إذا كان الحقل المتجه غير دوراني أو محافظ، حيث يجب أن يكون دوران الحقل المحافظ صفرًا. إنه ضروري في ديناميات الموائع لحساب الدوامية وفي الكهرومغناطيسية عند تطبيق معادلات ماكسويل لربط التغيرات المكانية في الحقول بالمكونات المتغيرة مع الزمن.

يوفر طريقة رياضية لتحديد كمية الدوران في الأنظمة الفيزيائية مثل أنماط الرياح الجوية، والتيارات المحيطية، والمجالات المغناطيسية. علاوة على ذلك، فإن الدوران هو المكون المركزي لنظرية ستوكس، التي تحول التكاملات السطحية المعقدة إلى تكاملات خطية أبسط.

الحساب كقيمة قياسية. ترتيب الضرب الاتجاهي.

في سياق دوامة في الماء، تُستخدم معادلة الدوران (مفهوم) لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

احسب الدوران باستخدام محدد 3×3 يحتوي على متجهات الوحدة، ومعاملات المشتقة الجزئية، ومكونات الحقل. دوران أي حقل تدرج هو دائمًا المتجه الصفري (∇ ×∇f = 0). طبق دائمًا قاعدة اليد اليمنى لتفسير اتجاه متجه الدوران الناتج. ميز الدوران عن التباعد: الدوران هو متجه يصف الدوران، بينما التباعد هو قيمة قياسية تصف التوسع أو الانكماش.

References

Sources

  1. Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
  2. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus by H. M. Schey
  3. Wikipedia: Curl (mathematics)
  4. Introduction to Electrodynamics by David J. Griffiths
  5. Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
  6. Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
  7. Griffiths, Introduction to Electrodynamics
  8. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.