قاعدة الضرب

Core idea

Overview

قاعدة الضرب هي صيغة تفاضل أساسية تستخدم لإيجاد مشتقة دالة هي حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق أو أكثر. وتؤكد أن مشتقة حاصل الضرب ليست ببساطة حاصل ضرب المشتقات الفردية، بل هي مزيج محدد من الدوال الأصلية ومعدلات تغيرها الخاصة.

When to use: طبق هذه القاعدة عندما تواجه دالة تتكون من دالتين فرعيتين مضروبتين معًا، مثل المنتجات الجبرية أو المثلثية أو الأسية. وهي مطلوبة عندما يكون كلا العاملين في حاصل الضرب دالتين غير ثابتتين لنفس المتغير المستقل.

Why it matters: هذه القاعدة ضرورية لحساب معدلات التغير في الأنظمة ذات المتغيرات المتفاعلة، مثل حساب الطاقة في دائرة كهربائية (الجهد مضروبًا في التيار) أو نمو الإيرادات الاقتصادية (السعر مضروبًا في الكمية). وهي تشكل الأساس لطريقة التكامل بالأجزاء في حساب التكامل.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, u = Function u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v', v = Function v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

u

Function u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

v

Function v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق قاعدة الضرب

تقوم قاعدة الضرب باشتقاق حاصل ضرب دالتين u(x) و v(x). يتم اشتقاقها من المبادئ الأولى عن طريق إضافة وطرح حد مناسب.

u(x) و v(x) قابلتان للاشتقاق.
الحدود ذات الصلة موجودة.

1

ابدأ من المبادئ الأولى:

طبق تعريف المشتقة على $f (x) = u (x) v (x)$ .

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x ) v ( x )}{h}

2

أضف واطرح u(x+h)v(x):

هذا يغير شكل التعبير دون تغيير قيمته.

\frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x + h ) v ( x ) + u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x )}{h}

3

جمّع وعامل:

قسّم إلى قسمين تفاضليين واعامل المشتركة.

h \to 0 lim [u (x + h) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}]

4

خذ النهاية:

عندما $h \to 0$ ، $u (x + h) \to u (x)$ وتصبح النسب مشتقات.

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Result

\frac{d}{d x} (uv) = u (x) v^{'} (x) + v (x) u^{'} (x)

Source: Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $u$

اجعل u موضوع المعادلة

u = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{\frac{d v}{d x}}

اعزل $u$ بطرح الحد $v \frac{d u}{d x}$ والقسمة على $\frac{d v}{d x}$ .

Difficulty: 3/5

Solve for $v$

اجعل v موضوع المعادلة

v = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{\frac{d u}{d x}}

اعزل $v$ بطرح الحد $u \frac{d v}{d x}$ والقسمة على $\frac{d u}{d x}$ .

Difficulty: 3/5

Solve for $\frac{d u}{d x}$

اجعل du/dx موضوع المعادلة

\frac{d u}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v}

اعزل $\frac{d u}{d x}$ بطرح الحد $u \frac{d v}{d x}$ والقسمة على $v$ .

Difficulty: 2/5

Solve for $\frac{d v}{d x}$

اجعل dv/dx موضوع المعادلة

\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{d y}{d x} - v \frac{d u}{d x}}{u}

اعزل $\frac{d v}{d x}$ بطرح الحد $v \frac{d u}{d x}$ والقسمة على $u$ .

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

تخيل مستطيلًا تكون أطوال أضلاعه دوالًا لمتغير مستقل؛ معدل تغير مساحته هو مجموع المعدل الذي يتغير به عرضه (مضروبًا في ارتفاعه الحالي)

Term

معدل التغير اللحظي لحاصل ضرب دالتين، u و v، بالنسبة للمتغير المستقل x.

مدى سرعة زيادة أو نقصان الكمية الإجمالية الممثلة بالمنتج u*v مع تغير x.

Term

قيمة الدالة الأولى عند نقطة x محددة.

الحجم 'الحالي' أو 'المساهمة' للعامل الأول في المنتج.

Term

قيمة الدالة الثانية عند نقطة x محددة.

الحجم 'الحالي' أو 'المساهمة' للعامل الثاني في المنتج.

Term

معدل التغير اللحظي للدالة الأولى u بالنسبة لـ x.

مدى سرعة تغير العامل الأول u مع تغير x، بشكل مستقل عن v.

Term

معدل التغير اللحظي للدالة الثانية v بالنسبة لـ x.

مدى سرعة تغير العامل الثاني v مع تغير x، بشكل مستقل عن u.

Signs and relationships

+: معدل التغير الكلي للمنتج هو مجموع مساهمتين متميزتين: معدل تغير v مضروبًا في u، ومعدل تغير u مضروبًا في v.

Free study cues

Insight

Canonical usage

تضمن قاعدة الضرب الاتساق البعدي عند اشتقاق دالة هي حاصل ضرب دالتين أخريين، حيث تكون وحدات المشتقة هي وحدات حاصل ضرب الدالتين مقسومة على وحدة المتغير المستقل.

One free problem

Practice Problem

دالة معرفة على أنها حاصل ضرب دالتين فرعيتين u و v. إذا كانت u = 5 و v = 10، وكانت مشتقاتهما على التوالي du = 2 و dv = 4، فاحسب المشتقة الكلية dy.

Hint: عوض بالقيم في الصيغة: dy = (u ×dv) + (v ×du).

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق الحركة التوافقية المخمدة (e^-x * sinx)، تُستخدم معادلة قاعدة الضرب لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

صنّف u و v بوضوح قبل التفاضل.
احسب du و dv بشكل منفصل لتجنب الأخطاء الجبرية.
تذكر أن ترتيب الحدين المضافين لا يهم.
استخدم الأقواس عند استبدال التعبيرات للحفاظ على الإشارات صحيحة.

Avoid these traps

Common Mistakes

مجرد ضرب المشتقات (u'v').
أخطاء الإشارة.

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

تقوم قاعدة الضرب باشتقاق حاصل ضرب دالتين u(x) و v(x). يتم اشتقاقها من المبادئ الأولى عن طريق إضافة وطرح حد مناسب.

طبق هذه القاعدة عندما تواجه دالة تتكون من دالتين فرعيتين مضروبتين معًا، مثل المنتجات الجبرية أو المثلثية أو الأسية. وهي مطلوبة عندما يكون كلا العاملين في حاصل الضرب دالتين غير ثابتتين لنفس المتغير المستقل.

هذه القاعدة ضرورية لحساب معدلات التغير في الأنظمة ذات المتغيرات المتفاعلة، مثل حساب الطاقة في دائرة كهربائية (الجهد مضروبًا في التيار) أو نمو الإيرادات الاقتصادية (السعر مضروبًا في الكمية). وهي تشكل الأساس لطريقة التكامل بالأجزاء في حساب التكامل.

مجرد ضرب المشتقات (u'v'). أخطاء الإشارة.

في سياق الحركة التوافقية المخمدة (e^-x * sinx)، تُستخدم معادلة قاعدة الضرب لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

صنّف u و v بوضوح قبل التفاضل. احسب du و dv بشكل منفصل لتجنب الأخطاء الجبرية. تذكر أن ترتيب الحدين المضافين لا يهم. استخدم الأقواس عند استبدال التعبيرات للحفاظ على الإشارات صحيحة.

References

Sources

Calculus by James Stewart
Wikipedia: Product rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2016.
Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition by James Stewart
Thomas' Calculus, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, Joel Hass
Product rule (Wikipedia article title)
Edexcel A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

ابدأ من المبادئ الأولى:

أضف واطرح u(x+h)v(x):

جمّع وعامل:

خذ النهاية:

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Quotient Rule

Frequently Asked Questions

Sources