قاعدة القسمة

Core idea

Overview

قاعدة القسمة هي صيغة أساسية في حساب التفاضل والتكامل تستخدم لإيجاد مشتقة دالة مكونة من قسمة دالتين أخريين قابلتين للاشتقاق. إنها تحدد علاقة رسمية بين مشتقة حاصل القسمة والقيم الفردية ومشتقات البسط والمقام.

When to use: طبق هذه القاعدة عندما تحتاج إلى تفاضل كسر حيث يكون كل من التعبيرين العلوي والسفلي دالتين لنفس المتغير المستقل. إنها الأداة الأساسية للدوال الكسرية التي لا يمكن تبسيطها بسهولة إلى أشكال كثيرات الحدود أو المنتجات الأبسط.

Why it matters: إنها ضرورية لتحليل المعدلات في العلوم والاقتصاد، مثل تحديد الإنتاجية الحدية أو سرعة الأجسام في ديناميكيات السوائل. كما أنها تسمح باشتقاق قواعد حساب التفاضل والتكامل الهامة الأخرى، خاصة تلك الخاصة بالدوال المثلثية مثل الظل والقاطع.

Symbols

Variables

$\frac{d y}{d x}$ = Resultant Gradient, v = Denominator v, $\frac{d u}{d x}$ = Derivative u', u = Numerator u, $\frac{d v}{d x}$ = Derivative v'

\frac{d y}{d x}

Resultant Gradient

Variable

v

Denominator v

Variable

\frac{d u}{d x}

Derivative u'

Variable

u

Numerator u

Variable

\frac{d v}{d x}

Derivative v'

Variable

Walkthrough

Derivation

اشتقاق قاعدة القسمة

قاعدة القسمة تفاضل u(x)/v(x). يمكن اشتقاقها عن طريق إعادة كتابتها كناتج u(x)·v(x)^(-1) وتطبيق قواعد الضرب والسلسلة.

u(x) و v(x) قابلتان للتفاضل.
v(x) $\neq =$ 0 على الفترة المعنية.

1

إعادة الكتابة كناتج:

اكتب $\frac{u}{v}$ كـ $u v^{- 1}$ .

y = u \cdot v^{- 1}

2

التفاضل باستخدام قواعد الضرب والسلسلة:

فاضل u بشكل عادي، وفاضل $v^{- 1}$ باستخدام قاعدة السلسلة.

\frac{d y}{d x} = u^{'} v^{- 1} + u (- 1 \cdot v^{- 2} \cdot v^{'})

3

إعادة الكتابة مع الكسور:

حول القوى السالبة إلى صيغة الكسر.

\frac{d y}{d x} = \frac{u ^{'}}{v} - \frac{u v ^{'}}{v ^{2}}

4

الجمع على مقام مشترك:

ضع كلا الحدين على $v^{2}$ للحصول على قاعدة القسمة القياسية.

\frac{d y}{d x} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Result

\frac{d y}{d x} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Source: OCR A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Why it behaves this way

Intuition

توفر قاعدة القسمة ميل خط المماس لمنحنى الدالة y = u(x)/v(x) عند أي نقطة معينة، عن طريق الجمع بين معدلات التغيير الفردية وقيم دوال البسط والمقام.

Term

معدل التغير اللحظي للدالة y، وهي قسمة u على v، بالنسبة للمتغير المستقل x.

يمثل مدى سرعة تغير النسبة u/v عند نقطة معينة.

Term

دالة البسط، تعتمد على x.

الجزء 'العلوي' من الكسر الذي يتم البحث عن مشتقته.

Term

دالة المقام، تعتمد على x.

الجزء 'السفلي' من الكسر؛ قيمته تقيس بقوة القسمة الكلية.

Term

معدل التغير اللحظي لدالة البسط u بالنسبة لـ x.

مدى سرعة تغير الجزء 'العلوي' من الكسر.

Term

معدل التغير اللحظي لدالة المقام v بالنسبة لـ x.

مدى سرعة تغير الجزء 'السفلي' من الكسر.

Signs and relationships

علامة الطرح في v (du/dx) - u (dv/dx): تأخذ هذه العلامة السالبة في الاعتبار العلاقة العكسية بين المقام والقسمة الكلية. إذا زاد المقام v (dv/dx > 0)
v^2 in the denominator: يضمن هذا الحد أن المشتقة يتم قياسها عكسياً بمربع دالة المقام. يعكس هذا أن التغييرات في المقام لها تأثير أبرز على القسمة عندما يكون v صغيراً، وهو

Free study cues

Insight

Canonical usage

تستخدم هذه المعادلة لتحديد مشتقة خارج قسمة دالتين، مما يضمن أن وحدات المشتقة الناتجة متسقة مع وحدات الدوال الأصلية والمتغير المستقل.

Dimension note

قاعدة القسمة نفسها هي مطابقة رياضية للمشتقات ولا تعني ضمنياً كميات عديمة الأبعاد. يتم تحديد وحدات المشتقة dy/dx بواسطة وحدات الدالتين u و v، ووحدات المتغير المستقل x.

One free problem

Practice Problem

دالة معرفة على أنها y = u/v. إذا كان البسط u عند نقطة معينة هو 4، ومشتقته du هي 5، والمقام v هو 2، ومشتقته dv هي 1، فاحسب المشتقة dy عند تلك النقطة.

Hint: طبق الصيغة: (v × du - u × dv) / v².

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

في سياق معدل تغير الكثافة (الكتلة/الحجم)، تُستخدم معادلة قاعدة القسمة لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

Study smarter

Tips

استخدم العبارة التذكيرية 'أقل d-أعلى ناقص أعلى d-أقل، ربع الأسفل وانطلق'.
ابدأ دائمًا بالمقام مضروبًا في مشتقة البسط لتجنب أخطاء الإشارة.
ابحث عن العوامل المشتركة في البسط الناتج لتبسيط الكسر بعد تطبيق القاعدة.

Avoid these traps

Common Mistakes

عكس مصطلحات u و v.
نسيان مقام v².

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

قاعدة القسمة تفاضل u(x)/v(x). يمكن اشتقاقها عن طريق إعادة كتابتها كناتج u(x)·v(x)^(-1) وتطبيق قواعد الضرب والسلسلة.

طبق هذه القاعدة عندما تحتاج إلى تفاضل كسر حيث يكون كل من التعبيرين العلوي والسفلي دالتين لنفس المتغير المستقل. إنها الأداة الأساسية للدوال الكسرية التي لا يمكن تبسيطها بسهولة إلى أشكال كثيرات الحدود أو المنتجات الأبسط.

إنها ضرورية لتحليل المعدلات في العلوم والاقتصاد، مثل تحديد الإنتاجية الحدية أو سرعة الأجسام في ديناميكيات السوائل. كما أنها تسمح باشتقاق قواعد حساب التفاضل والتكامل الهامة الأخرى، خاصة تلك الخاصة بالدوال المثلثية مثل الظل والقاطع.

عكس مصطلحات u و v. نسيان مقام v².

في سياق معدل تغير الكثافة (الكتلة/الحجم)، تُستخدم معادلة قاعدة القسمة لتحويل القياسات إلى قيمة يمكن تفسيرها. وتكمن أهمية الناتج في أنه يساعد على ربط الحساب بالشكل أو معدل التغير أو الاحتمال أو القيد داخل النموذج.

استخدم العبارة التذكيرية 'أقل d-أعلى ناقص أعلى d-أقل، ربع الأسفل وانطلق'. ابدأ دائمًا بالمقام مضروبًا في مشتقة البسط لتجنب أخطاء الإشارة. ابحث عن العوامل المشتركة في البسط الناتج لتبسيط الكسر بعد تطبيق القاعدة.

References

Sources

Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
Wikipedia: Quotient rule
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
Thomas, George B., Jr., et al. Thomas' Calculus. 14th ed. Pearson, 2018.
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
Thomas, George B. Jr., Weir, Maurice D., Hass, Joel. Thomas' Calculus. Pearson Education.
Wikipedia article "Quotient rule
OCR A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)

Overview

Variables

Derivation

إعادة الكتابة كناتج:

التفاضل باستخدام قواعد الضرب والسلسلة:

إعادة الكتابة مع الكسور:

الجمع على مقام مشترك:

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Product Rule

Frequently Asked Questions

Sources