نظرية جرين Calculator
تربط التكامل الخطي حول منحنى مغلق بتكامل مزدوج على المنطقة التي يحيط بها.
Formula first
Overview
تؤسس نظرية جرين اتصالًا أساسيًا بين التكامل الخطي حول منحنى مغلق بسيط والتكامل المزدوج على المنطقة المستوية التي يحيط بها. وهي في الأساس نسخة ثنائية الأبعاد من نظرية ستوكس وتستخدم لربط الدوران أو الدوران المحلي في حقل متجه بالالتفاف الصافي على مساحة.
Symbols
Variables
= Note
Apply it well
When To Use
When to use: طبق هذه النظرية عند تقييم تكامل خطي على منحنى مغلق، أملس قطعيًا في المستوى xy حيث يكون تكامل المساحة للالتفاف أسهل في الحساب. تتطلب وظائف المكونات L و M أن تكون لها مشتقات جزئية من الرتبة الأولى مستمرة في جميع أنحاء المنطقة المحدودة بالمنحنى.
Why it matters: إنها ضرورية لحساب الشغل والدوران في الفيزياء وديناميكا الموائع دون الحاجة إلى تحديد مسارات الحدود المعقدة بشكل فردي. كما توفر أساسًا رياضيًا لاستخدام التكاملات الخطية لحساب مساحة الأشكال غير المنتظمة، وهو المبدأ التشغيلي وراء جهاز البلانيميتر.
Avoid these traps
Common Mistakes
- الاستخدام للمنحنيات المفتوحة.
- علامة خاطئة (اتجاه عقارب الساعة).
One free problem
Practice Problem
احسب التكامل الخطي ∮_C (y² dx + x² dy) حيث C هو حد المستطيل المعرف بـ 0 ≤ x ≤ 2 و 0 ≤ y ≤ 3، الموجه عكس اتجاه عقارب الساعة.
Hint: حول التكامل الخطي إلى تكامل مزدوج للتعبير (∂M/∂x − ∂L/∂y) على المنطقة المستطيلة.
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
References
Sources
- Calculus: Early Transcendentals by James Stewart
- Vector Calculus by Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba
- Wikipedia: Green's theorem
- Stewart, Calculus: Early Transcendentals
- Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
- Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena
- Britannica, Green's theorem
- Wikipedia, Green's theorem