Engineeringديناميكا الموائعUniversity
IBUndergraduate

جريان كويت غير المستقر

يصف هذا المعادلة توزيع السرعة المعتمد على الزمن لسائل لزج محصور بين صفيحتين متوازيتين لا نهائيتين حيث يتم وضع إحدى الصفيحتين فجأة في الحركة.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough
Open Full WalkthroughTry Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

المعادلة هي تطبيق محدد لمعادلات نافييه-ستوكس، مما يبسط إلى معادلة تفاضلية جزئية من نوع الانتشار للمكون السرعة الموازي للصفائح. وهي تأخذ في الاعتبار عملية انتشار الزخم التي تدفعها اللزوجة الحركية مع تطور ملف السرعة بمرور الوقت من حالة أولية نحو ملف خطي مستقر. يعد فهم هذا التطور أمرًا بالغ الأهمية لتحديد السلوك العابر لأنظمة السوائل المعرضة لتغيرات مفاجئة في ظروف الحدود.

When to use: استخدم هذه المعادلة عند تحليل ملف السرعة العابر لسائل نيوتوني غير قابل للانضغاط بين حدود متوازية فور بدء التشغيل المفاجئ أو تغيير سرعة اللوحة.

Why it matters: إنها تُمثل الآلية الأساسية لنقل الزخم عبر الانتشار اللزج، والتي تحكم كيفية انتشار تأثيرات القص عبر سائل بمرور الوقت.

Walkthrough

Derivation

اشتقاق جريان كويِت غير المستقر

يوضح هذا الاشتقاق كيف تبسط معادلات نافييه-ستوكس إلى معادلة الانتشار غير المستقرة للسرعة تحت القيود المحددة لتدفق كويت.

  • Incompressible, نيوتنian fluid
  • التدفق أحادي الاتجاه ( = (y, t), = 0, = 0)
  • لا يوجد تدرج ضغط في اتجاه الجريان
  • خواص المائع ثابتة (الكثافة واللزوجة)
1

ابدأ بمعادلة نافييه-ستوكس

نبدأ بميزان الزخم العام لمائع نيوتني، حيث تمثل rho الكثافة، وv متجه السرعة، وp الضغط، وmu اللزوجة الديناميكية، وf قوى الجسم.

Note: هذه هي معادلة الحركة الأساسية في ميكانيكا الموائع.

2

تطبيق افتراضات الجريان

نوسع المعادلة المتجهة إلى المركبة x. بالنظر إلى الافتراضات بأن = = 0 وأن التدفق مكتمل التطور (أي أن السرعة لا تتغير في الاتجاه x، وبالتالي فإن المشتقة الجزئية / المشتقة الجزئية x = 0)، تتلاشى حدود التسارع الحملية.

Note: تؤكد معادلة الاستمرارية لمائع غير قابل للانضغاط (div v = 0) أنه إذا كانت = = 0، فإن لا يمكن أن تعتمد على x.

3

التبسيط إلى الصيغة النهائية

مع عدم وجود تدرج في الضغط (المشتقة الجزئية p / المشتقة الجزئية x = 0) وإهمال قوى الجسم، نقسم على الكثافة. بتعريف اللزوجة الحركية بأنها nu = mu / rho، نصل إلى معادلة الانتشار غير المستقرة للسرعة.

Note: هذه المعادلة مطابقة رياضيًا لمعادلة التوصيل الحراري.

Result

Why it behaves this way

Intuition

تخيّل رزمة من أوراق اللعب الرفيعة تمثل طبقات المائع. إن إزاحة البطاقة العليا فجأة جانبياً تُنشئ «موجة» من الحركة تتسرب ببطء إلى البطاقات الموجودة أسفلها. تلتقط المعادلة هذا «التسرب» الرأسي للسرعة: فالتغير المحلي في السرعة مع الزمن تدفعه درجة تقوس ملف السرعة الحالي. ويتحول من قفزة حادة عند الحد إلى خط قطري أملس ومستقيم عندما يقترب الزمن من اللانهاية.

Term
التسارع المحلي للمائع
مدى سرعة «تسارع» المائع عند ارتفاع محدد عندما يشعر بالسحب الناتج عن الصفيحة المتحركة فوقه.
Term
اللزوجة الحركية
هي «انتشارية الزخم» أو «دهنية» المائع. وهي تحدد مدى سرعة انتشار معلومات الحركة خلال كتلة المائع.
Term
تقوس ملف السرعة
مقياس للفرق في قوى القص بين أعلى طبقة المائع وأسفلها. إذا وُجد «انحناء» في ملف السرعة، فهذا يعني أن هناك قوة محصلة تؤثر لتسريع تلك الطبقة.

Signs and relationships

  • ν > 0: يجب أن تكون اللزوجة موجبة لأنها تمثل المقاومة الفيزيائية للجريان؛ أما اللزوجة السالبة فتعني أن المائع يولّد الطاقة تلقائيًا ويتسارع من تلقاء نفسه.
  • \frac{∂ v_x}{∂ t} ∝ \frac{∂^2 v_x}{∂ y^2}: تشير الإشارة الموجبة بين هذه الحدود إلى عملية تمليس. يتسارع المائع في الاتجاهات التي تقلل التدرجات الحادة، مما يحرك النظام نحو ملف شخصي خطي في حالة مستقرة.

One free problem

Practice Problem

إذا زادت اللزوجة الحركية للسائل، كيف يتغير الوقت المطلوب لوصول التدفق إلى ملف كويت مستقر؟

Hint: ضع في اعتبارك العلاقة بين اللزوجة ومعدل انتشار الزخم.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

التسارع المفاجئ لفيلم تزييت بين مكبس وجدار أسطوانة في محرك احتراق داخلي أثناء الشوط الأولي.

Study smarter

Tips

  • تأكد من أن التدفق يظل طبقيًا طوال المرحلة العابرة.
  • تحقق من أن ظروف الحدود عند t=0 و y=0/y=L محددة للسماح بحل فريد.
  • لاحظ التشابه الرياضي لمعادلة التوصيل الحراري أحادي البعد.

Avoid these traps

Common Mistakes

  • افتراض أن ملف السرعة خطي في جميع الأوقات خلال المرحلة العابرة.
  • إهمال تأثير اللزوجة الحركية على الوقت المطلوب للوصول إلى حالة مستقرة.

Common questions

Frequently Asked Questions

يوضح هذا الاشتقاق كيف تبسط معادلات نافييه-ستوكس إلى معادلة الانتشار غير المستقرة للسرعة تحت القيود المحددة لتدفق كويت.

استخدم هذه المعادلة عند تحليل ملف السرعة العابر لسائل نيوتوني غير قابل للانضغاط بين حدود متوازية فور بدء التشغيل المفاجئ أو تغيير سرعة اللوحة.

إنها تُمثل الآلية الأساسية لنقل الزخم عبر الانتشار اللزج، والتي تحكم كيفية انتشار تأثيرات القص عبر سائل بمرور الوقت.

افتراض أن ملف السرعة خطي في جميع الأوقات خلال المرحلة العابرة. إهمال تأثير اللزوجة الحركية على الوقت المطلوب للوصول إلى حالة مستقرة.

التسارع المفاجئ لفيلم تزييت بين مكبس وجدار أسطوانة في محرك احتراق داخلي أثناء الشوط الأولي.

تأكد من أن التدفق يظل طبقيًا طوال المرحلة العابرة. تحقق من أن ظروف الحدود عند t=0 و y=0/y=L محددة للسماح بحل فريد. لاحظ التشابه الرياضي لمعادلة التوصيل الحراري أحادي البعد.

References

Sources

  1. Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N., Transport Phenomena, 2nd Edition, Wiley.
  2. White, F. M., Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill Education.
  3. NIST CODATA
  4. IUPAC Gold Book
  5. White, Frank M. Fluid Mechanics. 8th ed., McGraw-Hill Education, 2016.
  6. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  7. White, Frank M. (2011). Fluid Mechanics (7th ed.). McGraw-Hill.
  8. NPTEL (National Programme on Technology Enhanced Learning) - Fluid Mechanics Course