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बर्नोली का समीकरण

बर्नोली का समीकरण एक आदर्श, असंपीड्य, और स्थिर द्रव प्रवाह के लिए एक धारा रेखा के साथ दबाव, प्रवाह वेग और ऊंचाई को संबंधित करता है।

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P + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = constant

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Core idea

Overview

ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत से व्युत्पन्न, समीकरण बताता है कि स्थैतिक दबाव, गतिशील दबाव और हाइड्रोस्टेटिक दबाव का योग एक धारा रेखा के साथ स्थिर रहता है। यह पाइपिंग ज्यामिति या ऊंचाई में भिन्नता होने पर द्रव प्रवाह की विशेषताओं में कैसे परिवर्तन होता है, यह निर्धारित करने के लिए द्रव यांत्रिकी में मौलिक है। यह आदर्शीकरण कोई घर्षण हानि और स्थिर द्रव घनत्व नहीं मानता है।

When to use: स्थिर, असंपीड्य, घर्षण रहित (अनVISCID) प्रवाह का विश्लेषण करते समय, एक धारा रेखा के साथ उपयोग करें जहां द्रव गुण समय के साथ नहीं बदलते हैं।

Why it matters: यह पाइपिंग सिस्टम, विमान के पंखों और हाइड्रोलिक उपकरणों को डिजाइन करने के लिए आवश्यक है, जिससे इंजीनियर दबाव अंतर के आधार पर वेग परिवर्तन की गणना कर सकें।

Symbols

Variables

P = Pressure, $ρ$ = Fluid Density, g = Gravity, h = Height

P

Pressure

Variable

ρ

Fluid Density

Variable

g

Gravity

Variable

h

Height

Variable

Free formulas

Rearrangements

Solve for $P$

P को विषय बनाएं

P = C - \frac{1}{2} ρ v^{2} - ρ g h

P को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 1/5

Solve for $v$

v को विषय बनाएं

v = \frac{2 ( C - P - ρ g h )}{ρ}

Isolate the velocity term by moving other components, multiplying by 2, dividing by density, and taking the square root.

Difficulty: 3/5

Solve for $g$

g को विषय बनाएं

g = \frac{C - P - \frac{1}{2} ρ v ^{2}}{ρ h}

g को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 2/5

Solve for $h$

h को विषय बनाएं

h = \frac{C - P - \frac{1}{2} ρ v ^{2}}{ρ g}

h को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें.

Difficulty: 2/5

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Why it behaves this way

Intuition

दृश्य संकेत: सोचें का fluid particle के रूप में budget-conscious traveler moving से होकर pipe. total 'ऊर्जा budget' है fixed; particle सकता है spend इसका wealth पर static दाब (crowd घनत्व), kinetic ऊर्जा (speed), या potential ऊर्जा (elevation). यदि pipe narrows (speed बढ़ती है) या moves uphill (elevation बढ़ती है), particle must 'spend' इसका static दाब को pay के लिए बदलाव, illustrating strict trade-off. प्रमुख राशियाँ P, $\frac{1}{2}$ $ρ$ $v^{2}$ , $ρ$ gh हैं।

Term

भौतिक अर्थ पहला: Static दाब

सहज व्याख्या पहला: internal stress या 'stored' ऊर्जा का fluid exerted पर surroundings; सोचें का यह के रूप में fluid's resting potential.

Term

भौतिक अर्थ दूसरा: Dynamic दाब (Kinetic ऊर्जा घनत्व)

सहज व्याख्या दूसरा: ऊर्जा cost associated के साथ motion का fluid; faster-moving fluid effectively 'uses' अधिक का total ऊर्जा budget के लिए इसका momentum.

Term

भौतिक अर्थ तीसरा: Hydrostatic दाब (Potential ऊर्जा घनत्व)

सहज व्याख्या तीसरा: gravitational 'tax' या 'reward' based पर vertical position; होते हुए higher up requires अधिक stored ऊर्जा को maintain जो elevation.

Signs and relationships

+: चिह्न कारण पहला: addition signs represent additive nature का ऊर्जा में closed तंत्र; since ऊर्जा है conserved में ideal (inviscid) fluid, योग का ये भिन्न ऊर्जा forms must remain invariant along streamline.

One free problem

Practice Problem

एक क्षैतिज पाइप जिसका क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र 0.02 m² है, 0.01 m² तक संकरा हो जाता है। यदि पानी व्यापक खंड में 2 m/s पर 200 kPa के दबाव के साथ बहता है, तो संकीर्ण खंड में दबाव क्या है (घनत्व = 1000 किग्रा/मी³)?

Hint: दूसरे खंड में वेग ज्ञात करने के लिए निरंतरता समीकरण A1v1 = A2v2 का उपयोग करें, फिर बर्नोली का लागू करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

एक विमान के पंख में, हवा की गति ऊपरी घुमावदार सतह पर नीचे की सतह की तुलना में बढ़ जाती है, जिससे दबाव में गिरावट आती है जो बर्नोली के सिद्धांत के अनुसार लिफ्ट उत्पन्न करती है।

Study smarter

Tips

समीकरण स्थापित करने से पहले हमेशा एक संदर्भ डेटा (h=0) को परिभाषित करें।
सुनिश्चित करें कि द्रव को असंपीड्य माना जाता है; यदि मैक संख्या > 0.3 है, तो संपीड़्य प्रवाह समीकरणों का उपयोग करें।
याद रखें कि समीकरण केवल एक धारा रेखा के साथ सख्ती से लागू होता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

महत्वपूर्ण ऊंचाई परिवर्तन होने पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव पद (rho*g*h) को अनदेखा करना।
ऊर्जा समीकरण विस्तार का उपयोग किए बिना महत्वपूर्ण श्यानता हानि (जैसे, घर्षण वाले लंबे पाइप) वाली प्रणालियों पर समीकरण लागू करने का प्रयास करना।
स्थैतिक दबाव को ठहराव दबाव से भ्रमित करना।

Common questions

Frequently Asked Questions

स्थिर, असंपीड्य, घर्षण रहित (अनVISCID) प्रवाह का विश्लेषण करते समय, एक धारा रेखा के साथ उपयोग करें जहां द्रव गुण समय के साथ नहीं बदलते हैं।

यह पाइपिंग सिस्टम, विमान के पंखों और हाइड्रोलिक उपकरणों को डिजाइन करने के लिए आवश्यक है, जिससे इंजीनियर दबाव अंतर के आधार पर वेग परिवर्तन की गणना कर सकें।

महत्वपूर्ण ऊंचाई परिवर्तन होने पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव पद (rho*g*h) को अनदेखा करना। ऊर्जा समीकरण विस्तार का उपयोग किए बिना महत्वपूर्ण श्यानता हानि (जैसे, घर्षण वाले लंबे पाइप) वाली प्रणालियों पर समीकरण लागू करने का प्रयास करना। स्थैतिक दबाव को ठहराव दबाव से भ्रमित करना।

समीकरण स्थापित करने से पहले हमेशा एक संदर्भ डेटा (h=0) को परिभाषित करें। सुनिश्चित करें कि द्रव को असंपीड्य माना जाता है; यदि मैक संख्या > 0.3 है, तो संपीड़्य प्रवाह समीकरणों का उपयोग करें। याद रखें कि समीकरण केवल एक धारा रेखा के साथ सख्ती से लागू होता है।

References

Sources

White, F. M. (2011). Fluid Mechanics (7th ed.). McGraw-Hill Education.
Batchelor, G. K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press.

बर्नोली का समीकरण

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Related Formulas

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