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जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल (टी-अंतराल)

टी-अंतराल नमूना डेटा से गणना किए गए मानों की एक सीमा प्रदान करता है जो जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात होने पर वास्तविक जनसंख्या माध्य को समाहित करने की संभावना है।

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Core idea

Overview

यह सांख्यिकीय विधि नमूना मानक विचलन का उपयोग करके जनसंख्या मानक विचलन का अनुमान लगाने से उत्पन्न अतिरिक्त अनिश्चितता को ध्यान में रखने के लिए छात्र के टी-वितरण का उपयोग करती है। यह छोटे नमूना आकारों या जब जनसंख्या प्रसरण ज्ञात नहीं माना जा सकता है, जब तक कि अंतर्निहित जनसंख्या लगभग सामान्य हो, के लिए पसंदीदा विधि है।

When to use: जब आपको छोटे नमूने (n < 30) से जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने की आवश्यकता हो या जब जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात हो तो इस अंतराल का उपयोग करें।

Why it matters: यह शोधकर्ताओं को वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में अपने अनुमानों की विश्वसनीयता को मापने की अनुमति देता है जहां डेटा सीमित है और जनसंख्या पैरामीटर पहुंच योग्य नहीं हैं।

Symbols

Variables

= Sample Mean, = Critical t-value, s = Sample Standard Deviation, n = Sample Size, ME = Margin of Error

Sample Mean
Variable
Critical t-value
Variable
Sample Standard Deviation
Variable
Sample Size
Variable
ME
Margin of Error
Variable
Upper
Upper Bound
Variable
Lower
Lower Bound
Variable

Walkthrough

Derivation

जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल (टी-अंतराल)

यह व्युत्पत्ति नमूना माध्य के वितरण को केंद्रित करके एक विश्वास अंतराल का निर्माण करती है जब जनसंख्या विचरण अज्ञात होता है, जिसके लिए छात्र की टी-वितरण का उपयोग आवश्यक होता है।

  • नमूना डेटा बिंदु स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) हैं।
  • जनसंख्या सामान्य रूप से वितरित है, या नमूना आकार पर्याप्त रूप से बड़ा है (केंद्रीय सीमा प्रमेय)।
  • जनसंख्या मानक विचलन सिग्मा अज्ञात है, जिसके लिए नमूना मानक विचलन एस का उपयोग आवश्यक है।
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नमूना माध्य का मानकीकरण

यदि सिग्मा ज्ञात होता, तो नमूना माध्य जनसंख्या माध्य पर केंद्रित एक सामान्य वितरण का पालन करता। चूंकि सिग्मा अज्ञात है, हम इसे नमूना मानक विचलन एस से प्रतिस्थापित करते हैं।

Note: यह ज्ञात विचरण के लिए उपयोग किया जाने वाला Z-स्कोर सूत्र है।

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टी-सांख्यिकी का परिचय

सिग्मा को एस से बदलने पर सांख्यिकी का वितरण एक मानक सामान्य से n-1 स्वतंत्रता की डिग्री के साथ छात्र की टी-वितरण में बदल जाता है।

Note: स्वतंत्रता की डिग्री df = n - 1 द्वारा परिभाषित की जाती है।

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प्रायिकता सीमाओं को परिभाषित करना

हम टी-सांख्यिकी के महत्वपूर्ण मानों (प्रत्येक पूंछ में अल्फा/2) के बीच गिरने की प्रायिकता को हमारे विश्वास स्तर, 1-अल्फा के बराबर निर्धारित करते हैं।

Note: वांछित विश्वास स्तर के आधार पर महत्वपूर्ण मान टी खोजने के लिए एक टी-तालिका देखें।

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जनसंख्या माध्य को अलग करना

असमानता को बीजगणितीय रूप से पुनर्व्यवस्थित करके म्यू को अलग करने से नमूना माध्य में जोड़े गए और घटाए गए त्रुटि मार्जिन का पता चलता है।

Note: यह अंतिम अभिव्यक्ति टी-विश्वास अंतराल के लिए सूत्र है।

Result

Source: Wackerly, D., Mendenhall, W., & Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical Statistics with Applications.

Why it behaves this way

Intuition

कुछ गोलियां चलाकर लक्ष्य के केंद्र का पता लगाने की कोशिश करने की कल्पना करें। नमूना माध्य केंद्र का आपका सबसे अच्छा अनुमान है, और विश्वास अंतराल उस बिंदु के चारों ओर एक 'सुरक्षा बफर' या ब्रैकेट बनाता है। चूंकि आप निश्चित नहीं हैं कि आपका निशाना कितना सटीक है (अज्ञात जनसंख्या विचरण के कारण), ब्रैकेट आपकी अनिश्चितता (टी-स्कोर) और आपकी गोलियों के फैलाव (मानक त्रुटि) के आधार पर फैलता है।

Term
नमूना माध्य
आपके डेटा बिंदुओं के विशिष्ट समूह से गणना किया गया 'सर्वोत्तम अनुमान' या संतुलन बिंदु।
Term
महत्वपूर्ण टी-मान
एक 'अस्थायी उपाय' जो इस तथ्य का ध्यान रखता है कि आप एक सीमित नमूने से जनसंख्या फैलाव का अनुमान लगा रहे हैं; यह उच्च जोखिम की भरपाई के लिए आपके नमूना आकार के छोटे होने पर बड़ा हो जाता है।
Term
नमूना मानक विचलन
व्यक्तिगत डेटा बिंदु आपके नमूना माध्य से कितना विचलित होते हैं, इसका एक माप; यह आपके डेटा में अंतर्निहित 'शोर' को मापता है।
Term
नमूना आकार का वर्गमूल
'स्थिरकारक'—जैसे-जैसे आप अधिक डेटा एकत्र करते हैं, व्यक्तिगत शोर का प्रभाव कम हो जाता है, जिससे आपके त्रुटि मार्जिन संकीर्ण हो जाता है।

Signs and relationships

  • ±: एक सममित सीमा का प्रतिनिधित्व करता है; हम एक विशिष्ट स्तर के विश्वास के साथ वास्तविक जनसंख्या माध्य को पकड़ने के लिए अपने नमूना माध्य के ऊपर और नीचे समान दूरी पर एक त्रुटि मार्जिन बनाते हैं।

One free problem

Practice Problem

10 छात्रों के एक नमूने में 15 घंटे का माध्य अध्ययन समय और 3 का नमूना मानक विचलन है। 95% विश्वास के लिए 2.262 के टी-स्कोर का उपयोग करते हुए, त्रुटि मार्जिन ज्ञात करें।

Hint: टी-स्कोर को मानक त्रुटि से गुणा करें, जो s को n के वर्गमूल से विभाजित किया गया है।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल (टी-अंतराल) के संदर्भ में, जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल (टी-अंतराल) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

  • सुनिश्चित करें कि डेटा एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है या केंद्रीय सीमा प्रमेय को लागू करने के लिए नमूना आकार पर्याप्त रूप से बड़ा है।
  • महत्वपूर्ण टी-मान देखने से पहले हमेशा स्वतंत्रता की डिग्री के रूप में n-1 की गणना करें।
  • अपने डेटा में महत्वपूर्ण आउटलेयर के लिए जांचें, क्योंकि टी-टेस्ट चरम मानों के प्रति संवेदनशील है।

Avoid these traps

Common Mistakes

  • जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात होने पर टी-स्कोर के बजाय जेड-स्कोर का उपयोग करना।
  • स्वतंत्रता की डिग्री निर्धारित करते समय नमूना आकार से 1 घटाना भूल जाना।

Common questions

Frequently Asked Questions

यह व्युत्पत्ति नमूना माध्य के वितरण को केंद्रित करके एक विश्वास अंतराल का निर्माण करती है जब जनसंख्या विचरण अज्ञात होता है, जिसके लिए छात्र की टी-वितरण का उपयोग आवश्यक होता है।

जब आपको छोटे नमूने (n < 30) से जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने की आवश्यकता हो या जब जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात हो तो इस अंतराल का उपयोग करें।

यह शोधकर्ताओं को वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में अपने अनुमानों की विश्वसनीयता को मापने की अनुमति देता है जहां डेटा सीमित है और जनसंख्या पैरामीटर पहुंच योग्य नहीं हैं।

जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात होने पर टी-स्कोर के बजाय जेड-स्कोर का उपयोग करना। स्वतंत्रता की डिग्री निर्धारित करते समय नमूना आकार से 1 घटाना भूल जाना।

जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल (टी-अंतराल) के संदर्भ में, जनसंख्या माध्य के लिए विश्वास अंतराल (टी-अंतराल) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।

सुनिश्चित करें कि डेटा एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है या केंद्रीय सीमा प्रमेय को लागू करने के लिए नमूना आकार पर्याप्त रूप से बड़ा है। महत्वपूर्ण टी-मान देखने से पहले हमेशा स्वतंत्रता की डिग्री के रूप में n-1 की गणना करें। अपने डेटा में महत्वपूर्ण आउटलेयर के लिए जांचें, क्योंकि टी-टेस्ट चरम मानों के प्रति संवेदनशील है।

References

Sources

  1. Moore, D. S., McCabe, G. P., & Craig, B. A. (2017). Introduction to the Practice of Statistics (9th ed.). W. H. Freeman and Company.
  2. OpenStax. (2018). Introductory Statistics. Rice University.
  3. Moore, D. S., McCabe, G. P., & Craig, B. A. (2017). Introduction to the Practice of Statistics.
  4. OpenStax, Introductory Statistics.
  5. Wackerly, D., Mendenhall, W., & Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical Statistics with Applications.