डेरिवेटिव (शक्ति)
शक्ति नियम का उपयोग करके x^n का अवकलन करें।
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Core idea
Overview
शक्ति नियम एक चर के एक स्थिरांक वास्तविक-संख्या घातांक तक उठाए गए डेरिवेटिव की गणना के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला एक मौलिक सिद्धांत है। यह स्थापित करता है कि एक शक्ति फ़ंक्शन का ढलान चर पद को उसके वर्तमान घातांक से गुणा करके और फिर उस घातांक को ठीक एक से घटाकर निर्धारित किया जाता है।
When to use: xⁿ के रूप में किसी भी पद का अवकलन करते समय इस नियम को लागू करें, जहां n एक स्थिरांक मान है। यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य है, जिसमें धनात्मक पूर्णांक, ऋणात्मक पूर्णांक और रेडिकल का प्रतिनिधित्व करने वाले भिन्नात्मक घातांक शामिल हैं।
Why it matters: यह नियम डेरिवेटिव की परिभाषा की थकाऊ सीमा पर निर्भर किए बिना परिवर्तन की दरों की तीव्र गणना की अनुमति देता है। यह वेग से त्वरण प्राप्त करने के लिए भौतिकी में और सीमांत लागत और राजस्व निर्धारित करने के लिए अर्थशास्त्र में आवश्यक है।
Symbols
Variables
n = Power n, x = Variable x, = Derivative value
Walkthrough
Derivation
अवकलन के लिए घात नियम की व्युत्पत्ति
घात नियम कहता है कि का अवकलज n x^(n-1) है। इसे द्विपद विस्तार का उपयोग करके प्रथम सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है।
- इस व्युत्पत्ति के लिए n एक धनात्मक पूर्णांक है (इसलिए द्विपद प्रमेय एक परिमित विस्तार देता है)।
- h के 0 के करीब पहुंचने पर सीमा मौजूद है।
प्रथम सिद्धांतों से प्रारंभ करें:
अंतर भागफल की सीमा के रूप में अवकलज की परिभाषा का उपयोग करें।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके (x+h)^n का विस्तार करें:
अभिव्यक्ति को h की बढ़ती घातों वाले पदों में विस्तारित करें।
x^n को रद्द करें और h से विभाजित करें:
घटाने से पहला पद रद्द हो जाता है, जिससे केवल h वाले पद बचते हैं।
सीमा लें:
जब , h वाले सभी पद लुप्त हो जाते हैं, केवल पहला पद बचता है।
अंतिम परिणाम:
तो .
Result
Source: AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)
Why it behaves this way
Intuition
अवकलज nx^(n-1) किसी भी दिए गए बिंदु x पर वक्र y=xn की स्पर्शरेखा की ढलान का वर्णन करता है, यह दर्शाता है कि वक्र की ढलान इसके डोमेन में कैसे बदलती है।
Signs and relationships
- n-1 (as the exponent in the derivative): घातांक एक से कम हो जाता है क्योंकि अवकलन परिवर्तन की दर की गणना करता है, जो आम तौर पर मूल फलन की तुलना में एक क्रम या 'आयाम' कम होता है। उदाहरण के लिए, क्षेत्रफल (x2) का परिवर्तन दर
- n (as the coefficient in the derivative): मूल घातांक 'n' एक गुणक कारक बन जाता है, जो परिवर्तन की दर को मापता है। यह दर्शाता है कि मूल घातांक का परिमाण सीधे अवकलज की ढलान को कैसे प्रभावित करता है।
Free study cues
Insight
Canonical usage
This rule dictates how the dimension of a power function changes when differentiated with respect to its base variable.
Dimension note
If the variable 'x' is dimensionless (e.g., a pure number, a ratio), then '' is also dimensionless, and its derivative 'nx^(n-1)' will remain dimensionless.
One free problem
Practice Problem
फलन f(x) = x³ के परिवर्तन की तात्कालिक दर की गणना करें जहां x = 2 है।
Hint: शक्ति नियम nxⁿ⁻¹ लागू करें, n के लिए 3 और x के लिए 2 को प्रतिस्थापित करके।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
विस्थापन समीकरण से वेग ज्ञात करना। के संदर्भ में, डेरिवेटिव (शक्ति) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।
Study smarter
Tips
- घातांक को कम करने से पहले पद को वर्तमान घातांक से गुणा करें।
- घातांक से ठीक एक घटाएं, ऋणात्मक संख्याओं के साथ सावधानीपूर्वक गणना सुनिश्चित करें।
- नियम लागू करने से पहले रेडिकल चिह्नों को भिन्नात्मक घातांकों में कनवर्ट करें।
- याद रखें कि एक रैखिक पद x¹ का डेरिवेटिव केवल 1 है।
Avoid these traps
Common Mistakes
- अवकलन के बजाय समाकलन करना।
- स्थिरांक के लिए n=0 भूल जाना।
Common questions
Frequently Asked Questions
घात नियम कहता है कि x^n का अवकलज n x^(n-1) है। इसे द्विपद विस्तार का उपयोग करके प्रथम सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है।
xⁿ के रूप में किसी भी पद का अवकलन करते समय इस नियम को लागू करें, जहां n एक स्थिरांक मान है। यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य है, जिसमें धनात्मक पूर्णांक, ऋणात्मक पूर्णांक और रेडिकल का प्रतिनिधित्व करने वाले भिन्नात्मक घातांक शामिल हैं।
यह नियम डेरिवेटिव की परिभाषा की थकाऊ सीमा पर निर्भर किए बिना परिवर्तन की दरों की तीव्र गणना की अनुमति देता है। यह वेग से त्वरण प्राप्त करने के लिए भौतिकी में और सीमांत लागत और राजस्व निर्धारित करने के लिए अर्थशास्त्र में आवश्यक है।
अवकलन के बजाय समाकलन करना। स्थिरांक के लिए n=0 भूल जाना।
विस्थापन समीकरण से वेग ज्ञात करना। के संदर्भ में, डेरिवेटिव (शक्ति) मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणना को मॉडल के आकार, परिवर्तन दर, प्रायिकता या प्रतिबंध से जोड़ने में मदद करता है।
घातांक को कम करने से पहले पद को वर्तमान घातांक से गुणा करें। घातांक से ठीक एक घटाएं, ऋणात्मक संख्याओं के साथ सावधानीपूर्वक गणना सुनिश्चित करें। नियम लागू करने से पहले रेडिकल चिह्नों को भिन्नात्मक घातांकों में कनवर्ट करें। याद रखें कि एक रैखिक पद x¹ का डेरिवेटिव केवल 1 है।
References
Sources
- Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals.
- Wikipedia: Power rule
- Stewart, Calculus: Early Transcendentals
- Halliday, Resnick, and Walker, Fundamentals of Physics
- Thomas' Calculus: Early Transcendentals, 14th Edition by George B. Thomas Jr., Maurice D. Weir, and Joel Hass
- AQA A-Level Mathematics — Pure (Differentiation)