Integral of x^n
समाकलन के लिए घात नियम।
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Core idea
Overview
समाकलन के लिए घात नियम एक चर को एक स्थिर घात तक बढ़ाने के प्रति-अवकलज को खोजने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है। यह निर्धारित करता है कि समाकल को घातांक को एक से बढ़ाकर और व्यंजक को इस नए घातांक मान से विभाजित करके पाया जाता है।
When to use: इस नियम का उपयोग तब करें जब xⁿ के रूप के घात फलनों को एकीकृत किया जा रहा हो जहाँ n कोई भी वास्तविक संख्या है। ध्यान दें कि यह विशिष्ट सूत्र केवल तब लागू होता है जब घातांक n -1 के बराबर नहीं होता है, क्योंकि उस मामले में लघुगणकीय समाधान की आवश्यकता होती है।
Why it matters: यह सूत्र वक्रों के नीचे क्षेत्रों, चर बलों द्वारा किए गए कार्य और जड़त्व के क्षणों की गणना के लिए कलन का आधार है। यह इंजीनियरों और वैज्ञानिकों को दर-परिवर्तन मॉडल से कुल संचय मॉडल तक जाने की अनुमति देता है।
Symbols
Variables
I = Integral Value, x = x Value, n = Power
Walkthrough
Derivation
सूत्र: x^n का समाकलन (समाकलन के लिए घात नियम)
समाकलन अवकलन का व्युत्क्रम है। समाकलन के लिए घात नियम घात को 1 से बढ़ाता है और नई घात से विभाजित करता है।
- n एक वास्तविक संख्या है।
- n -1।
नियम बताएँ:
घात में 1 जोड़ें, नई घात से विभाजित करें, और समाकलन स्थिरांक C शामिल करें।
अवकलन द्वारा जाँचें:
अवकलन मूल समाकल्य को वापस कर देता है, जिससे नियम की पुष्टि होती है।
Result
Source: Standard curriculum — A-Level Pure Mathematics
Visual intuition
Graph
Graph type: power_law
Why it behaves this way
Intuition
समाकलन फलन y = xn के वक्र के नीचे संचित कुल क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें अनंत रूप से पतले ऊर्ध्वाधर आयतों की एक अनंत संख्या का योग किया जाता है, प्रत्येक की ऊँचाई xn और चौड़ाई dx होती है।
Signs and relationships
- n+1 (in exponent): घात एक से बढ़ जाती है क्योंकि समाकलन अवकलन का व्युत्क्रम संक्रिया है, जहाँ घात एक से घट जाती है।
- n+1 (in denominator): नई घात n+1 से विभाजन उस कारक को रद्द कर देता है जो x^(n+1) के अवकलित होने पर दिखाई देगा, जिससे सही प्रति-अवकलज सुनिश्चित होता है।
- +C: स्थिरांक C जोड़ा जाता है क्योंकि किसी भी स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है, जिसका अर्थ है कि मूल फलन में एक मनमाना स्थिरांक पद है जो अनिश्चित समाकलन के दौरान वापस आ जाता है।
Free study cues
Insight
Canonical usage
This equation is used to determine the antiderivative of a power function, where the dimension of the result is consistently one higher than the dimension of the original function's variable.
One free problem
Practice Problem
समाकल I = ∫ xⁿ dx का मान ज्ञात करें, जहाँ n = 2 और x = 3 है, यह मानते हुए कि समाकलन स्थिरांक C 0 है।
Hint: एकीकृत रूप x³ / 3 है।
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
जब पता लगाया जाता है position from velocity, Integral of x^n का उपयोग गणना के लिए किया जाता है Integral Value from x Value and Power. परिणाम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह बदलती मात्रा को क्षेत्र, दूरी, आयतन, कार्य या लागत जैसी कुल राशि में बदलने में मदद करता है।
Study smarter
Tips
- अनिश्चित समाकल करते समय हमेशा समाकलन स्थिरांक C जोड़ें।
- शून्य से विभाजन से बचने के लिए आगे बढ़ने से पहले जांचें कि घातांक -1 है या नहीं।
- एकीकृत करने से पहले रेडिकल चिह्नों या भिन्नों को घातांक में बदलें (उदाहरण के लिए, √x से .5)।
- अपने परिणाम को अवकलित करके सत्यापित करें; आपको मूल फलन पर वापस आना चाहिए।
Avoid these traps
Common Mistakes
- घात को घटाना।
- n=-1 के लिए उपयोग करना (ln का प्रयोग करें)।
Common questions
Frequently Asked Questions
समाकलन अवकलन का व्युत्क्रम है। समाकलन के लिए घात नियम घात को 1 से बढ़ाता है और नई घात से विभाजित करता है।
इस नियम का उपयोग तब करें जब xⁿ के रूप के घात फलनों को एकीकृत किया जा रहा हो जहाँ n कोई भी वास्तविक संख्या है। ध्यान दें कि यह विशिष्ट सूत्र केवल तब लागू होता है जब घातांक n -1 के बराबर नहीं होता है, क्योंकि उस मामले में लघुगणकीय समाधान की आवश्यकता होती है।
यह सूत्र वक्रों के नीचे क्षेत्रों, चर बलों द्वारा किए गए कार्य और जड़त्व के क्षणों की गणना के लिए कलन का आधार है। यह इंजीनियरों और वैज्ञानिकों को दर-परिवर्तन मॉडल से कुल संचय मॉडल तक जाने की अनुमति देता है।
घात को घटाना। n=-1 के लिए उपयोग करना (ln का प्रयोग करें)।
जब पता लगाया जाता है position from velocity, Integral of x^n का उपयोग गणना के लिए किया जाता है Integral Value from x Value and Power. परिणाम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह बदलती मात्रा को क्षेत्र, दूरी, आयतन, कार्य या लागत जैसी कुल राशि में बदलने में मदद करता है।
अनिश्चित समाकल करते समय हमेशा समाकलन स्थिरांक C जोड़ें। शून्य से विभाजन से बचने के लिए आगे बढ़ने से पहले जांचें कि घातांक -1 है या नहीं। एकीकृत करने से पहले रेडिकल चिह्नों या भिन्नों को घातांक में बदलें (उदाहरण के लिए, √x से x^0.5)। अपने परिणाम को अवकलित करके सत्यापित करें; आपको मूल फलन पर वापस आना चाहिए।
References
Sources
- Stewart, Calculus: Early Transcendentals
- Thomas' Calculus
- Wikipedia: Antiderivative
- Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2016.
- Thomas, George B., et al. Thomas' Calculus. 14th ed. Pearson, 2018.
- Stewart Calculus Early Transcendentals
- Wikipedia: Power rule (calculus)
- Standard curriculum — A-Level Pure Mathematics