डॉट उत्पाद (अदिश उत्पाद)

Core idea

Overview

ज्यामितीय रूप से, डॉट उत्पाद दो सदिशों के परिमाण और उनके बीच के कोण के कोसाइन से संबंधित होता है। बीजगणितीय रूप से, यह संख्याओं के संबंधित प्रविष्टियों के गुणनफलों का योग है। यह सदिश स्थानों में एक मौलिक संक्रिया है, जो ऑर्थोगोनैलिटी और सदिश प्रक्षेपण को परिभाषित करने के आधार के रूप में कार्य करता है।

When to use: जब आपको दो सदिशों के बीच का कोण निर्धारित करने की आवश्यकता होती है, यह जांचना होता है कि दो सदिश ऑर्थोगोनल (लंबवत) हैं या नहीं, या किसी बल सदिश द्वारा विस्थापन पर किए गए कार्य की गणना करनी होती है, तो डॉट उत्पाद का उपयोग करें।

Why it matters: ऊर्जा गणनाओं में भौतिकी के लिए, प्रकाश व्यवस्था और शेडिंग एल्गोरिदम में कंप्यूटर ग्राफिक्स के लिए, और डेटा बिंदुओं के बीच समानता को मापने के लिए मशीन लर्निंग में डॉट उत्पाद आवश्यक है।

Symbols

Variables

a $\cdot$ b = Dot Product, $a_{1}$ = Vector A component 1, $a_{2}$ = Vector A component 2, $b_{1}$ = Vector B component 1, $b_{2}$ = Vector B component 2

a \cdot b

Dot Product

Variable

a_{1}

Vector A component 1

Variable

a_{2}

Vector A component 2

Variable

b_{1}

Vector B component 1

Variable

b_{2}

Vector B component 2

Variable

Walkthrough

Derivation

डॉट उत्पाद (अदिश उत्पाद)

यह व्युत्पत्ति सदिशों की ज्यामितीय परिभाषा को उनके कार्तीय घटकों में बीजगणितीय प्रतिनिधित्व के साथ जोड़ने के लिए कोसाइन के नियम का उपयोग करती है।

सदिश 3D यूक्लिडियन स्पेस में परिभाषित हैं।
दोनों सदिशों के बीच परिभाषित कोण की अनुमति देने के लिए सदिश शून्य नहीं हैं।

1

सदिश त्रिकोण पर कोसाइन का नियम

सदिश a, b, और अंतर सदिश (b - a) द्वारा बने एक त्रिकोण पर विचार करें। कोसाइन का नियम इस त्रिकोण की भुजाओं की लंबाई को a और b के बीच के कोण थीटा से संबंधित करता है।

∣ b - a ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣∣ b ∣ cos (θ)

Note: याद रखें कि कोण थीटा को दोनों सदिशों की पूंछ के बीच रखा जाना चाहिए।

2

परिमाण का बीजगणितीय विस्तार

निर्देशांक घटकों में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके सदिश (b - a) के परिमाण के वर्ग का विस्तार करें।

∣ b - a ∣^{2} = (b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}

Note: इसका विस्तार करने पर $a_{1}^{2}$ + $b_{1}^{2}$ - 2a_1b_1 + ... आदि प्राप्त होता है।

3

बराबर करना और सरलीकरण

|b - a|^2 के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करके, हम दोनों पक्षों से |a|^2 और |b|^2 घटाते हैं।

∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2 (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}) = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} - 2∣ a ∣∣ b ∣ cos (θ)

Note: यह बीजगणितीय निरस्तीकरण घटकों और त्रिकोणमितीय परिभाषा के बीच संबंध को अलग करता है।

4

अंतिम पहचान

-2 से विभाजित करने पर डॉट प्रोडक्ट की मानक परिभाषा प्राप्त होती है, जिससे पता चलता है कि संगत घटकों के उत्पादों का योग परिमाण-कोसाइन उत्पाद के बराबर होता है।

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos (θ)

Note: यह सिद्ध करता है कि डॉट प्रोडक्ट समन्वय प्रणाली के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।

Result

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos (θ)

Source: Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition.

Why it behaves this way

Intuition

एक टॉर्च (सदिश b) की कल्पना करें जो एक सतह (सदिश a) पर चमक रही है। डॉट प्रोडक्ट सदिश b द्वारा सदिश a की 'छाया' की लंबाई है, जिसे प्रकाश स्रोत के परिमाण से मापा जाता है। यदि वे एक ही दिशा में इंगित करते हैं, तो छाया अधिकतम होती है; यदि वे लंबवत हैं, तो छाया गायब हो जाती है।

Term

डॉट प्रोडक्ट

यह मापने का एक तरीका है कि दो सदिश एक-दूसरे से कितना 'सहमत' या संरेखित होते हैं।

Term

परिमाण गुणनफल

दोनों सदिशों की 'कच्ची' ताकत, यदि वे पूरी तरह से संरेखित होते।

Term

संरेखण कारक

एक प्रतिशत ( -1 से 1 तक) जो दर्शाता है कि सदिश b का कितना भाग वास्तव में सदिश a की दिशा में योगदान देता है।

Term

घटक-वार उत्पाद

बीजगणितीय दृष्टिकोण: यह देखने के लिए संगत आयामों के उत्पाद को जोड़ें कि वे समन्वय स्थान में कैसे परस्पर क्रिया करते हैं।

Signs and relationships

Positive result: सदिश सामान्यतः एक ही दिशा में इंगित करते हैं (कोण < 90°)।
Zero result: सदिश लंबवत (orthogonal) हैं; उनमें कोई सामान्य संरेखण नहीं है।
Negative result: सदिश सामान्यतः विपरीत दिशाओं में इंगित करते हैं (कोण > 90°)।

One free problem

Practice Problem

सदिश a = [3, 2] और सदिश b = [1, 4] का डॉट उत्पाद ज्ञात कीजिए।

Hint: संबंधित घटकों (3*1) और (2*4) को गुणा करें, फिर परिणामों को एक साथ जोड़ें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

3D गेम इंजन में, डेवलपर्स कैमरे के उन्मुखीकरण सदिश की वस्तु की ओर इंगित करने वाले सदिश से तुलना करके यह निर्धारित करने के लिए डॉट उत्पाद का उपयोग करते हैं कि कोई वस्तु कैमरे के दृश्य क्षेत्र में है या नहीं।

Study smarter

Tips

यदि डॉट उत्पाद शून्य है, तो सदिश ऑर्थोगोनल (कोण 90 डिग्री है) हैं।
किसी सदिश का स्वयं के साथ डॉट उत्पाद उसके परिमाण का वर्ग होता है: a · a = |a|^2।
डॉट उत्पाद कम्यूटेटिव है, जिसका अर्थ है a · b = b · a।

Avoid these traps

Common Mistakes

डॉट उत्पाद को क्रॉस उत्पाद के साथ भ्रमित करना, जो अदिश के बजाय एक सदिश में परिणत होता है।
यह भूल जाना कि डॉट उत्पाद का परिणाम एक अदिश मान है, न कि एक सदिश।

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

यह व्युत्पत्ति सदिशों की ज्यामितीय परिभाषा को उनके कार्तीय घटकों में बीजगणितीय प्रतिनिधित्व के साथ जोड़ने के लिए कोसाइन के नियम का उपयोग करती है।

जब आपको दो सदिशों के बीच का कोण निर्धारित करने की आवश्यकता होती है, यह जांचना होता है कि दो सदिश ऑर्थोगोनल (लंबवत) हैं या नहीं, या किसी बल सदिश द्वारा विस्थापन पर किए गए कार्य की गणना करनी होती है, तो डॉट उत्पाद का उपयोग करें।

ऊर्जा गणनाओं में भौतिकी के लिए, प्रकाश व्यवस्था और शेडिंग एल्गोरिदम में कंप्यूटर ग्राफिक्स के लिए, और डेटा बिंदुओं के बीच समानता को मापने के लिए मशीन लर्निंग में डॉट उत्पाद आवश्यक है।

डॉट उत्पाद को क्रॉस उत्पाद के साथ भ्रमित करना, जो अदिश के बजाय एक सदिश में परिणत होता है। यह भूल जाना कि डॉट उत्पाद का परिणाम एक अदिश मान है, न कि एक सदिश।

3D गेम इंजन में, डेवलपर्स कैमरे के उन्मुखीकरण सदिश की वस्तु की ओर इंगित करने वाले सदिश से तुलना करके यह निर्धारित करने के लिए डॉट उत्पाद का उपयोग करते हैं कि कोई वस्तु कैमरे के दृश्य क्षेत्र में है या नहीं।

यदि डॉट उत्पाद शून्य है, तो सदिश ऑर्थोगोनल (कोण 90 डिग्री है) हैं। किसी सदिश का स्वयं के साथ डॉट उत्पाद उसके परिमाण का वर्ग होता है: a · a = |a|^2। डॉट उत्पाद कम्यूटेटिव है, जिसका अर्थ है a · b = b · a।

References

Sources

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals, 8th Edition.

Overview

Variables

Derivation

सदिश त्रिकोण पर कोसाइन का नियम

परिमाण का बीजगणितीय विस्तार

बराबर करना और सरलीकरण

अंतिम पहचान

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Cross Product

Frequently Asked Questions

Sources