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रेडियल दबाव वितरण

घूर्णी प्रवाह के साथ दो संकेंद्रित सिलेंडरों के बीच एक रेडियल गैप में द्रव के दबाव प्रोफ़ाइल की गणना करता है।

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P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

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Core idea

Overview

यह समीकरण एनुलर स्पेस के भीतर घूर्णी गति के अधीन द्रव परत में स्थानिक दबाव भिन्नता का मॉडल करता है। यह द्रव घनत्व, कोणीय वेग और आंतरिक और बाहरी सिलेंडर बाधाओं द्वारा परिभाषित त्रिज्या अनुपात के प्रभावों को ध्यान में रखता है। यह व्यंजक सिस्टम के भीतर एक संदर्भ बिंदु के संबंध में दबाव अंतर निर्धारित करने के लिए एक बंद-रूप समाधान प्रदान करता है।

When to use: घूमते हुए संकेंद्रित सिलेंडरों के बीच एनुलर क्षेत्र में स्थिर, असंपीड्य, लैमिनर प्रवाह का विश्लेषण करते समय उपयोग करें।

Why it matters: जर्नल बेयरिंग, सील क्लीयरेंस डिजाइन करने और घूमती मशीनरी में टॉर्क ट्रांसमिशन को समझने के लिए महत्वपूर्ण।

Symbols

Variables

P - $P_{κ R}$ = Pressure Difference, $ρ$ = Fluid Density, $Ω_{0}$ = Angular Velocity, $κ$ = Radius Ratio, R = Outer Radius

P - P_{κ R}

Pressure Difference

ρ

Fluid Density

k g / m^{3}

Ω_{0}

Angular Velocity

rad/s

κ

Radius Ratio

dimensionless

R

Outer Radius

m

r

Radial Position

m

Walkthrough

Derivation

त्रिज्यीय दाब वितरण की व्युत्पत्ति

यह व्युत्पत्ति स्थिर, असंपीड्य, अश्यान भंवर प्रवाह के लिए त्रिज्यीय संवेग समीकरण को समाकलित करके द्रव प्रवाह में त्रिज्यीय दाब प्रोफ़ाइल निर्धारित करती है।

अक्षसममित प्रवाह (गुण केवल त्रिज्या r पर निर्भर करते हैं)
एक विशिष्ट वेग वितरण द्वारा परिभाषित प्रवाह क्षेत्र

त्रिज्यीय संवेग समीकरण

For steady, axisymmetric, inviscid flow in polar coordinates, the radial component of the Navier-Stokes equation reduces to the balance between the pressure gradient and the centrifugal acceleration.

\frac{d P}{d r} = ρ \frac{v _{θ}^{2}}{r}

Note: यह घूर्णनशील द्रव में दाब के लिए मूलभूत शासक समीकरण है।

वेग प्रोफ़ाइल प्रतिस्थापन

हम विशिष्ट स्पर्शरेखीय वेग प्रोफ़ाइल $v_{θ} (r)$ को त्रिज्यीय संवेग समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। यह प्रोफ़ाइल दो त्रिज्याओं के बीच संयुक्त भंवर प्रवाह को दर्शाती है।

v_{θ} (r) = \frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}} (\frac{r}{κ R} - \frac{κ R}{r})

Note: सुनिश्चित करें कि वेग की इकाइयाँ दाब की इकाइयों के अनुरूप हैं।

Integration

हम दाब प्रवणता को संदर्भ त्रिज्या $κ R$ (जहाँ दाब $P_{κ R}$ है) से किसी मनमानी त्रिज्या $r$ तक समाकलित करते हैं। यह चरण अपकेंद्री बलों द्वारा किए गए कार्य के आधार पर दाबांतर की गणना करता है।

\int_{P_{κ R}}^{P} d P = \int_{κ R}^{r} ρ \frac{v _{θ} ( r ) ^{2}}{r} d r

Note: समाकलन की सीमाएँ संदर्भ दाब बिंदु से मेल खानी चाहिए।

अंतिम बीजीय विस्तार

वर्गित वेग पद का विस्तार करने और समाकलन करने से त्रिज्यीय दाब वितरण के लिए अंतिम व्यंजक प्राप्त होता है।

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Note: The logarithmic term arises from the integration of the $1/ r$ component of the velocity squared term.

Result

P - P_{κ R} = \frac{1}{2} ρ (\frac{Ω _{0} κ R}{1 - κ ^{2}})^{2} [(\frac{r}{κ R})^{2} - (\frac{κ R}{r})^{2} - 4 ln (\frac{r}{κ R})]

Visual intuition

Graph

ग्राफ R के बदलने पर Radial दाब वितरण का रुझान दिखाता है। ढाल, दिशा और वक्रता से पता चलता है कि संबंधित अभियांत्रिक राशि किस प्रकार बढ़ती, घटती या स्थिर रहती है। मूल संदर्भ में दाब अंतर है complex फलन का outer त्रिज्या, R, के साथ terms कि हैं squared, inversely squared, और inside logarithm. के लि जैसी बातों पर ध्यान है।

Graph type: other

Why it behaves this way

Intuition

दृश्य संकेत: कल्पना करें fluid trapped में gap के बीच two concentric cylinders. inner cylinder रखता है radius का κR और outer one रखता है radius का R. के रूप में cylinders rotate, fluid है 'flung' outward द्वारा centrifugal effects, but है constrained द्वारा walls. यह creates दाब gradient जहाँ दाब बढ़ती है के रूप में आप move से inner wall (κR) toward outer regions, similar को कैसे air दाब में centrifuge बढ़ती है toward outer edge. प्रमुख राशियाँ P - $P_{κ R}$ , ρ, Ω₀, κ, r / κR हैं।

Term

भौतिक अर्थ पहला: Gauge दाब relative को inner cylinder surface. संदर्भ: Derivation का Radial दाब Distribution.

सहज व्याख्या पहला: net 'squeeze' felt द्वारा fluid पर कोई बिंदु r compared को दाब पर starting बिंदु का inner wall. संदर्भ: Derivation का Radial दाब Distribution.

Term

भौतिक अर्थ दूसरा: Fluid घनत्व संदर्भ: Derivation का Radial दाब Distribution.

सहज व्याख्या दूसरा: Heavier fluids (like oil vs air) रखते हैं अधिक द्रव्यमान को होना slung outward, resulting में कितना higher दाब differences के लिए समान घूर्णन speed. संदर्भ: Derivation का Radial दाब Distribution.

Term

भौतिक अर्थ तीसरा: Angular वेग का घूर्णन. संदर्भ: Derivation का Radial दाब Distribution.

सहज व्याख्या तीसरा: यह determines strength का centrifugal बल; क्योंकि यह है squared, doubling spin speed quadruples दाब difference. संदर्भ: Derivation का Radial दाब Distribution.

Term

भौतिक अर्थ चौथा: Radius अनुपात (Inner Radius / Outer Radius). संदर्भ: Derivation का Radial दाब Distribution.

सहज व्याख्या चौथा: measure का कैसे 'पतले' या 'thick' annular gap है. यदि κ है close को 1, gap है very narrow; यदि κ है close को 0, inner cylinder है just पतले wire. संदर्भ: Derivation का Radial दाब Distribution.

Term

भौतिक अर्थ पाँचवाँ: Dimensionless radial position. संदर्भ: Derivation का Radial दाब Distribution.

सहज व्याख्या पाँचवाँ: अनुपात का जहाँ आप हैं currently measuring (r) को जहाँ fluid starts ( inner radius). यह tells सूत्र कैसे far में gap आप रखते हैं traveled. संदर्भ: Derivation का Radial दाब Distribution.

Signs and relationships

P - P_{κR}: चिह्न कारण पहला: यह मान है typically धनात्मक के रूप में आप move outward (r > κR) क्योंकि centrifugal बल pushes fluid against outer boundaries, building up दाब.
1 - κ²: चिह्न कारण दूसरा: यह हर पद ensures जो के रूप में gap के बीच cylinders disappears (κ approaches 1), दाब required को move fluid से होकर जो infinitely small space approaches infinity.

One free problem

Practice Problem

यदि द्रव घनत्व को समान कोणीय वेग और ज्यामिति बनाए रखते हुए बढ़ा दिया जाए तो एनुलर गैप में दबाव वितरण कैसे बदलता है?

Hint: दबाव वितरण सूत्र में घनत्व पद (rho) की भूमिका की जांच करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

उच्च गति से घूमने वाली यांत्रिक सील के भीतर चिकनाई तेल फिल्म में दबाव लोड वितरण का निर्धारण।

Study smarter

Tips

गणना से पहले लंबाई (r, R) के लिए सभी इकाइयों को सुसंगत सुनिश्चित करें।
जांचें कि त्रिज्या अनुपात कप्पा 0 और 1 के बीच है।
सत्यापित करें कि प्रवाह व्यवस्था लैमिनर है, क्योंकि अशांत प्रवाह के लिए विभिन्न अनुभवजन्य सहसंबंधों की आवश्यकता होती है।

Avoid these traps

Common Mistakes

कप्पा पैरामीटर के भीतर आंतरिक और बाहरी त्रिज्या को मिलाना।
घूर्णी गति को RPM से rad/s (Omega_0) में परिवर्तित करना भूल जाना।
संदर्भ दबाव P_kappaR को स्थानीय दबाव P के साथ भ्रमित करना।

Common questions

Frequently Asked Questions

घूमते हुए संकेंद्रित सिलेंडरों के बीच एनुलर क्षेत्र में स्थिर, असंपीड्य, लैमिनर प्रवाह का विश्लेषण करते समय उपयोग करें।

जर्नल बेयरिंग, सील क्लीयरेंस डिजाइन करने और घूमती मशीनरी में टॉर्क ट्रांसमिशन को समझने के लिए महत्वपूर्ण।

कप्पा पैरामीटर के भीतर आंतरिक और बाहरी त्रिज्या को मिलाना। घूर्णी गति को RPM से rad/s (Omega_0) में परिवर्तित करना भूल जाना। संदर्भ दबाव P_kappaR को स्थानीय दबाव P के साथ भ्रमित करना।

गणना से पहले लंबाई (r, R) के लिए सभी इकाइयों को सुसंगत सुनिश्चित करें। जांचें कि त्रिज्या अनुपात कप्पा 0 और 1 के बीच है। सत्यापित करें कि प्रवाह व्यवस्था लैमिनर है, क्योंकि अशांत प्रवाह के लिए विभिन्न अनुभवजन्य सहसंबंधों की आवश्यकता होती है।

References

Sources

Fundamentals of Fluid Mechanics, 8th Edition, Munson, Young, and Okiishi.
NIST CODATA
IUPAC Gold Book
Wikipedia: Fluid dynamics
White, Frank M. Fluid Mechanics. McGraw-Hill Education, 2016.
Munson, Bruce R., et al. Fundamentals of Fluid Mechanics. John Wiley & Sons, 2016.

रेडियल दबाव वितरण

Overview

Variables

Derivation

त्रिज्यीय संवेग समीकरण

वेग प्रोफ़ाइल प्रतिस्थापन

Integration

अंतिम बीजीय विस्तार

Graph

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Unsteady state Couette flow

Frequently Asked Questions

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