यंग का मापांक | Equation, Derivation and Rearrangements

Core idea

Overview

यंग का मापांक, जिसे प्रत्यास्थता मापांक भी कहा जाता है, तन्यता या संपीडन प्रतिबल और अक्षीय विकृति के बीच संबंध को परिभाषित करके एक ठोस सामग्री की कठोरता को मापता है। यह प्रतिबल-विकृति वक्र पर रैखिक-प्रत्यास्थ क्षेत्र की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है, जो दर्शाता है कि किसी विशेष भार के तहत कोई सामग्री कितनी प्रत्यास्थ रूप से विकृत होगी।

When to use: इस समीकरण को तब लागू करें जब कोई सामग्री प्रत्यास्थ विरूपण से गुजर रही हो, जिसका अर्थ है कि भार हटा दिए जाने पर वह अपने मूल आकार में लौट आएगी। यह केवल प्रतिबल-विकृति वक्र के रैखिक भाग के भीतर मान्य है, विशेष रूप से सामग्री के अपने आनुपातिक सीमा तक पहुंचने से पहले।

Why it matters: यह मान इंजीनियरों को बीम, पुल केबल या विमान के पंखों जैसे संरचनात्मक घटकों के परिचालन भार के तहत विक्षेपित होने के तरीके की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। उपयुक्त मापांक वाली सामग्री का चयन यांत्रिक स्थिरता सुनिश्चित करने और अत्यधिक कंपन या संरचनात्मक विफलता को रोकने के लिए महत्वपूर्ण है।

Symbols

Variables

E = Young's Modulus, $σ$ = Stress, $ϵ$ = Strain

E

Young's Modulus

Pa

σ

Stress

Pa

ϵ

Strain

Variable

Walkthrough

Derivation

यंग्स मापांक की व्युत्पत्ति

यंग्स मापांक E कठोरता को मापता है। रैखिक लोचदार क्षेत्र में, यह तनाव से खिंचाव का स्थिर अनुपात है।

सामग्री हुक के नियम (रैखिक लोचदार व्यवहार) का पालन करती है।
आनुपातिक सीमा पार नहीं की जाती है।

1

रैखिक क्षेत्र में परिभाषा बताएं:

रैखिक लोचदार क्षेत्र में यंग्स मापांक तनाव को खिंचाव से विभाजित करने के बराबर होता है।

E = \frac{σ}{ε}

2

तनाव और खिंचाव को प्रतिस्थापित करें:

$σ$ को $F / A$ और $ε$ को $Δ L / L$ से बदलें।

E = \frac{( \frac{F}{A} )}{( \frac{Δ L}{L} )}

3

पुनर्व्यवस्थित करें:

यह रूप प्रयोगात्मक मापों से सीधे E की गणना करने के लिए सुविधाजनक है।

E = \frac{F L}{A Δ L}

Result

E = \frac{F L}{A Δ L}

Source: AQA A-Level Physics — Materials

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ$

यंग का मापांक: सिग्मा को विषय बनाएं

σ = E ϵ

यंग मापांक ( $E$ ) और तनाव ( $ϵ$ ) के संदर्भ में तनाव ( $σ$ ) को व्यक्त करने के लिए यंग मापांक सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें।

Difficulty: 2/5

Solve for $ϵ$

एप्सिलॉन को विषय बनाएं

ϵ = \frac{σ}{E}

यंग मापांक सूत्र से प्रारंभ करें। तनाव ( $ϵ$ ) को विषय बनाने के लिए, पहले हर को साफ़ करने के लिए दोनों पक्षों को $ϵ$ से गुणा करें, फिर यंग मापांक ( $E$ ) से विभाजित करें।

Difficulty: 2/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

यंग्स मापांक एक तनाव-खिंचाव वक्र के प्रारंभिक रैखिक भाग के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है, जहाँ तनाव y-अक्ष पर और खिंचाव x-अक्ष पर आलेखित होता है।

Term

अक्षीय लोडिंग के तहत लोचदार विकृति के प्रति सामग्री का अंतर्निहित प्रतिरोध।

एक उच्च 'E' का मतलब है कि सामग्री सख्त है और उसे काफी हद तक खींचने या संपीड़ित करने के लिए एक बड़े बल की आवश्यकता होती है; एक निम्न 'E' का मतलब है कि यह अधिक लचीला या आज्ञाकारी है।

Term

किसी सामग्री के भीतर प्रति इकाई क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र का आंतरिक पुनर्स्थापना बल, जो बाहरी भार के जवाब में उत्पन्न होता है।

यह सामग्री के क्रॉस-सेक्शन पर वितरित बल की 'तीव्रता' है। छोटे क्षेत्र पर अधिक बल लगाने से अधिक तनाव होता है।

Term

किसी सामग्री के मूल लंबाई के सापेक्ष लंबाई (विरूपण) का भिन्नात्मक परिवर्तन, यह दर्शाता है कि यह कितना खिंचा या संपीड़ित हुआ है।

यह विरूपण की मात्रा का एक विमाहीन माप है, जिसे मूल आकार के प्रतिशत या अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है।

Signs and relationships

ε (in the denominator): खिंचाव हर में है क्योंकि यंग्स मापांक खिंचाव की एक इकाई प्राप्त करने के लिए आवश्यक तनाव को मापता है। एक दी गई तनाव के लिए एक बड़ी खिंचाव का अनुभव करने वाली सामग्री में कम यंग्स मापांक होता है (यह कम कठोर है)।

Free study cues

Insight

Canonical usage

Young's Modulus is typically expressed in units of pressure, as it represents the ratio of stress (pressure) to dimensionless strain.

Dimension note

Strain (ε) is a dimensionless quantity, representing a ratio of lengths (change in length / original length).

Ballpark figures

Quantity:

One free problem

Practice Problem

एक स्टील रॉड पर 200,000,000 Pa का तन्यता प्रतिबल लगाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 0.001 की अनुदैर्ध्य विकृति होती है। स्टील के यंग के मापांक की गणना करें।

Hint: प्रतिबल को विकृति से विभाजित करें।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

स्टील बनाम एल्यूमीनियम की कठोरता की तुलना करना। के संदर्भ में, यंग का मापांक मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह डिजाइन के आयाम, प्रदर्शन या सुरक्षा मार्जिन की जांच करने में मदद करता है।

Study smarter

Tips

सुनिश्चित करें कि प्रतिबल और यंग के मापांक समान इकाइयों का उपयोग करें, आमतौर पर पास्कल (Pa) या न्यूटन प्रति मीटर वर्ग (N/m²)।
याद रखें कि विकृति एक आयामहीन अनुपात है, इसलिए इसकी कोई इकाई नहीं है।
यह रैखिक संबंध मानता है कि सामग्री समदैशिक और सजातीय है।
E के उच्च मान एक कठोर सामग्री को इंगित करते हैं जो विरूपण का अधिक प्रभावी ढंग से विरोध करती है।

Avoid these traps

Common Mistakes

प्लास्टिक क्षेत्र डेटा का उपयोग करना।
प्रतिबल इकाइयों को मिलाना।

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

यंग्स मापांक E कठोरता को मापता है। रैखिक लोचदार क्षेत्र में, यह तनाव से खिंचाव का स्थिर अनुपात है।

इस समीकरण को तब लागू करें जब कोई सामग्री प्रत्यास्थ विरूपण से गुजर रही हो, जिसका अर्थ है कि भार हटा दिए जाने पर वह अपने मूल आकार में लौट आएगी। यह केवल प्रतिबल-विकृति वक्र के रैखिक भाग के भीतर मान्य है, विशेष रूप से सामग्री के अपने आनुपातिक सीमा तक पहुंचने से पहले।

यह मान इंजीनियरों को बीम, पुल केबल या विमान के पंखों जैसे संरचनात्मक घटकों के परिचालन भार के तहत विक्षेपित होने के तरीके की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। उपयुक्त मापांक वाली सामग्री का चयन यांत्रिक स्थिरता सुनिश्चित करने और अत्यधिक कंपन या संरचनात्मक विफलता को रोकने के लिए महत्वपूर्ण है।

प्लास्टिक क्षेत्र डेटा का उपयोग करना। प्रतिबल इकाइयों को मिलाना।

स्टील बनाम एल्यूमीनियम की कठोरता की तुलना करना। के संदर्भ में, यंग का मापांक मापों को ऐसी मान में बदलने के लिए इस्तेमाल होता है जिसे समझा जा सके। परिणाम इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह डिजाइन के आयाम, प्रदर्शन या सुरक्षा मार्जिन की जांच करने में मदद करता है।

सुनिश्चित करें कि प्रतिबल और यंग के मापांक समान इकाइयों का उपयोग करें, आमतौर पर पास्कल (Pa) या न्यूटन प्रति मीटर वर्ग (N/m²)। याद रखें कि विकृति एक आयामहीन अनुपात है, इसलिए इसकी कोई इकाई नहीं है। यह रैखिक संबंध मानता है कि सामग्री समदैशिक और सजातीय है। E के उच्च मान एक कठोर सामग्री को इंगित करते हैं जो विरूपण का अधिक प्रभावी ढंग से विरोध करती है।

References

Sources

Mechanics of Materials by Beer, Johnston, DeWolf, and Mazurek
Wikipedia: Young's modulus
Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
Incropera, F. P., DeWitt, D. P., Bergman, T. L., & Lavine, A. S. (2007). Fundamentals of Heat and Mass Transfer (6th ed.).
IUPAC Gold Book: 'modulus of elasticity' (https://goldbook.iupac.org/terms/view/M03964)
Wikipedia: 'Young's modulus' (https://en.wikipedia.org/wiki/Young%27s_modulus)
Callister, W. D., & Rethwisch, D. G. Materials Science and Engineering: An Introduction
Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D. F. Mechanics of Materials