補償需要(ヒックス需要)関数

Q: What are some study tips for the 補償需要(ヒックス需要)関数 formula?

Hicksian demand は所得ではなく効用（$u$）を一定に保つことを覚えておいてください。 支出関数 $e(\mathbf{p}, u)$ は、価格 $\mathbf{p}$ の下で効用 $u$ を達成するための最小費用を与えます。 偏微分 $\frac{\partial e}{\partial p_i}$ は、他のすべての価格と $u$ を定数として扱い、$e$ を $p_i$ で微分することを意味します。 この関係は Shephard's Lemma として知られています。

Core idea

Overview

補償（ヒックス型）需要関数は、シェパードの補題から導出され、消費者の所得が価格変化に対して「補償」されていると仮定して、特定の効用水準を達成するために消費者が需要する財の数量を記述します。マーシャル型需要とは異なり、ヒックス型需要は効用を一定に保つことで代替効果を分離し、福祉経済学において、真の生活費や価格変化が消費者厚生に与える影響を所得効果から切り離して分析するための重要な概念です。

When to use: この式はミクロ経済学において、支出関数が既知である場合にある財のヒックス型需要関数を導出するために使用されます。これは、効用一定の仮定のもとで消費者行動を分析する際、特に価格変化の代替効果と所得効果を分離する場合や、厚生分析において不可欠です。

Why it matters: ヒックス型需要の理解は、上級消費者理論と福祉経済学の基礎です。これにより、経済学者は価格変化の厚生影響を（例えば、補償変分や等価変分を用いて）正確に測定し、真の生活費指数を構築することができ、標準的なマーシャル型需要よりも正確な消費者厚生の姿を提供します。

Symbols

Variables

$p$ = Price Vector, u = Utility Level, e = Expenditure Function, $p_{i}$ = Price of Good i, $h_{i}$ = Hicksian Demand for Good i

p

Price Vector

currency/unit

u

Utility Level

utils

e

Expenditure Function

currency

p_{i}

Price of Good i

currency/unit

h_{i}

Hicksian Demand for Good i

units

Walkthrough

Derivation

公式：補償（ヒックス）需要関数（シェパードの補題）

財に対するヒックス需要は、支出関数をその財の価格で偏微分することによって求められる。

消費者の選好は合理的で、完備的かつ推移的である。
支出関数 $e (p, u)$ は価格に関して微分可能である。
消費者は所与の効用水準 $u$ を達成するために支出を最小化する。

1

支出関数を定義する：

支出関数 $e (p, u)$ は、財 $x$ の価格ベクトル $p$ のもとで効用水準 $u$ を達成するために必要な最小支出を表す。これは制約付き最適化問題である。

e (p, u) = x min {p \cdot x ∣ U (x) \geq u}

2

包絡線定理（シェパードの補題）を適用する：

シェパードの補題（包絡線定理の直接的な応用）によれば、支出関数の財 $i$ の価格 $p_{i}$ に関する偏微分は、財 $i$ のヒックス（補償）需要関数 $h_{i} (p, u)$ を与える。これは、一定の効用水準 $u$ を維持するために需要される財 $i$ の数量が、最小支出の $p_{i}$ に関する変化率に他ならないことを意味する。

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Result

h_{i} (p, u) = \frac{\partial e ( p , u )}{\partial p _{i}}

Source: Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Free formulas

Rearrangements

Solve for $p$

ヒックス需要: $p$ を主語にする

No direct algebraic rearrangement for p

$p$ (価格ベクトル) をヒックス需要関数の主語にすることは、一般に単純な代数操作では不可能です。なぜなら、それは偏微分と支出関数の中に埋め込まれているからです。

Difficulty: 4/5

Solve for $u$

ヒックス需要: $u$ を主語にする

No direct algebraic rearrangement for u

$u$ (効用水準) をヒックス需要関数の主語にすることは、一般に単純な代数操作では不可能です。なぜなら、それは支出関数と導関数への入力だからです。

Difficulty: 4/5

Solve for $e$

ヒックス需要: $e$ を主語にする

e (p, u) = \int h_{i} (p, u) d p_{i} + C (p_{- i}, u)

$e (p, u)$ (支出関数) を主語にするには、ヒックス需要関数の積分が必要です。これは微分の逆操作であり、単純な代数操作ではありません。

Difficulty: 4/5

Solve for $p_{i}$

ヒックス需要: $p_{i}$ を主語にする

No direct algebraic rearrangement for p_{i}

ヒックス需要関数の主語として $p_{i}$ (財 i の価格) を求めることは、一般に単純な代数操作では不可能です。なぜなら、それは微分の変数であり、支出関数への入力だからです。

Difficulty: 4/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

消費者の選択の地図上で特定の「幸福の等高線」（無差別曲線）に留まろうとする消費者を想像してみよう。ある財のヒックス需要は、異なる価格のもとでその財をどれだけ選択するかを示す。

h_{i}

財iのヒックス（補償）需要。これは、価格ベクトルpのもとで特定の効用水準uを達成するために消費者が購入する財iの数量を表す。

価格がどう変化しても、あなたの幸福（効用）をまったく同じに保つように所得が完全に調整された場合、あなたが財iをどれだけ購入するか。これは価格変化の純粋な「代替効果」を抽出する。

e (p, u)

支出関数。これは、所与の価格ベクトルp（バンドル内の財）に直面した消費者が特定の効用水準uを達成するために必要な最小の総支出（費用）である。

現在のすべての価格を考慮して、固定された満足度または厚生の水準に到達するために必要な最小の金額。

p_{i}

財iの1単位あたりの市場価格。

市場で財iを1単位購入する費用。

u

消費者が維持すると仮定される特定の固定された効用（満足度または厚生）の水準。

価格の変化に関係なく、消費者が達成を目指す一定の「幸福目標」。

Free study cues

Insight

Canonical usage

この方程式は、財のヒックス需要、すなわち数量が、支出関数（貨幣単位）の偏微分から導かれる場合に、次元の整合性を確保するために使用されます。

One free problem

Practice Problem

支出関数 $e (p, u) = u p_{1} p_{2}$ が与えられており、 $p_{1}$ と $p_{2}$ は2つの財の価格、 $u$ は効用水準です。財1のヒックス型需要関数 $h_{1} (p, u)$ を導出してください。

Hint: 偏微分の規則 $\frac{\partial}{\partial x} (a x^{n}) = an x^{n - 1}$ を適用し、必要に応じて連鎖律を使用してください。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

燃料価格の変動にもかかわらず一定のライフスタイル効用を維持するためのガソリンの補償需要において、補償（ヒックス型）需要関数は、価格ベクトル、効用水準、支出関数から財iのヒックス型需要を計算するために使用されます。結果が重要なのは、元の状況における局所的な変化率、方向、または限界効果を解釈するのに役立つからです。

Study smarter

Tips

Hicksian demand は所得ではなく効用（ $u$ ）を一定に保つことを覚えておいてください。
支出関数 $e (p, u)$ は、価格 $p$ の下で効用 $u$ を達成するための最小費用を与えます。
偏微分 $\frac{\partial e}{\partial p _{i}}$ は、他のすべての価格と $u$ を定数として扱い、 $e$ を $p_{i}$ で微分することを意味します。
この関係は Shephard's Lemma として知られています。

Avoid these traps

Common Mistakes

Hicksian demand と、所得を一定に保つ Marshallian demand を混同してしまうこと。
特に複数の価格変数がある場合に、偏微分を誤って行うこと。
$p$ は $p_{i}$ だけではなく、*all* prices のベクトルであることを忘れてしまうこと。

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

財に対するヒックス需要は、支出関数をその財の価格で偏微分することによって求められる。

この式はミクロ経済学において、支出関数が既知である場合にある財のヒックス型需要関数を導出するために使用されます。これは、効用一定の仮定のもとで消費者行動を分析する際、特に価格変化の代替効果と所得効果を分離する場合や、厚生分析において不可欠です。

ヒックス型需要の理解は、上級消費者理論と福祉経済学の基礎です。これにより、経済学者は価格変化の厚生影響を（例えば、補償変分や等価変分を用いて）正確に測定し、真の生活費指数を構築することができ、標準的なマーシャル型需要よりも正確な消費者厚生の姿を提供します。

Hicksian demand と、所得を一定に保つ Marshallian demand を混同してしまうこと。特に複数の価格変数がある場合に、偏微分を誤って行うこと。 $\mathbf{p}$ は $p_i$ だけではなく、*all* prices のベクトルであることを忘れてしまうこと。

燃料価格の変動にもかかわらず一定のライフスタイル効用を維持するためのガソリンの補償需要において、補償（ヒックス型）需要関数は、価格ベクトル、効用水準、支出関数から財iのヒックス型需要を計算するために使用されます。結果が重要なのは、元の状況における局所的な変化率、方向、または限界効果を解釈するのに役立つからです。

Hicksian demand は所得ではなく効用（$u$）を一定に保つことを覚えておいてください。支出関数 $e(\mathbf{p}, u)$ は、価格 $\mathbf{p}$ の下で効用 $u$ を達成するための最小費用を与えます。偏微分 $\frac{\partial e}{\partial p_i}$ は、他のすべての価格と $u$ を定数として扱い、$e$ を $p_i$ で微分することを意味します。この関係は Shephard's Lemma として知られています。

References

Sources

Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company.
Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory. Oxford University Press.
Wikipedia: Hicksian demand function
Wikipedia: Shephard's lemma
Microeconomic Analysis, 3rd Edition by Hal R. Varian
Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions, 12th Edition by Walter Nicholson and Christopher Snyder
Nicholson, Walter, and Christopher Snyder. Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions. Cengage Learning.
Shephard, R. W. (1953). Cost and Production Functions. Princeton University Press. (Formal proof of Shephard's Lemma)

Overview

Variables

Derivation

支出関数を定義する：

包絡線定理（シェパードの補題）を適用する：

Rearrangements

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

Marshallian Demand Function

Expenditure Function

Frequently Asked Questions

Sources