成長する永久年金の現在価値

Core idea

Overview

成長する永久年金の現在価値の公式は、しばしばゴードン成長モデルと呼ばれ、財務において、各キャッシュフローが一定の割合で成長しながら無期限にキャッシュフローを生み出すと期待される資産を評価するための基本的なツールです。これは将来の成長するキャッシュフローを現在価値に割り引き、その将来の収入の流れの現在の価値を表す単一の数値を提供します。このモデルは、永続的な存続と安定した成長が仮定される株式、不動産、または企業の評価に特に有用です。

When to use: この公式は、無期限にキャッシュフローを生み出すと予想され、これらのキャッシュフローが一定の安定した割合で成長すると予測される資産を評価する際に適用します。公式が意味のある有限の現在価値を生み出すためには、割引率（r）が成長率（g）よりも大きいことが重要です。このモデルは、特に予測可能な成長を伴う成熟企業の株式評価によく使用されます。

Why it matters: この式は、収益を生み出す資産の本質的価値を決定するための理論的枠組みを提供するため、投資家や金融アナリストにとって不可欠です。これは投資判断、資産価格の公正性の評価、評価における成長率と割引率の影響の理解に役立ちます。その応用は、企業財務における資本予算や戦略計画にまで及びます。

Symbols

Variables

$C_{1}$ = Cash Flow in Period 1, r = Discount Rate, g = Growth Rate, PV = Present Value

C_{1}

Cash Flow in Period 1

$

r

Discount Rate

%

g

Growth Rate

%

PV

Present Value

$

Walkthrough

Derivation

公式：成長永続年金の現在価値

一定の成長率で増加する無限のキャッシュフローの現在価値の公式を導出する。

キャッシュフローは一定の率 (g) で無期限に成長する。
割引率 (r) は一定で、成長率 (g) よりも大きい。
最初のキャッシュフロー (C1) は最初の期間の終わりに発生する。

1

現在価値を割引キャッシュフローの合計として定義する：

現在価値 (PV) は、すべての将来キャッシュフローを現在に割り引いた合計である。C1 は最初の期間のキャッシュフローであり、その後各期間で (1+g) ずつ成長する。

P V = \frac{C _{1}}{( 1 + r ) ^{1}} + \frac{C _{1} ( 1 + g )}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{C _{1} ( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots

2

因数分解し、等比級数として認識する：

C1 をくくり出す。括弧内の式は、初項 a = 1/(1+r) で公比 x = (1+g)/(1+r) の無限等比級数である。

P V = C_{1} [\frac{1}{1 + r} + \frac{1 + g}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{( 1 + g ) ^{2}}{( 1 + r ) ^{3}} + \dots]

3

無限等比級数の和の公式を適用する：

無限等比級数 a + ax + ax^2 + ... の和は、|x| < 1 のとき a / (1-x) である。ここで、初項は C1/(1+r) であり、公比は (1+g)/(1+r) である。条件 |x|<1 は r > g を意味する。

P V = \frac{C _{1} \cdot \frac{1}{1 + r}}{1 - \frac{1 + g}{1 + r}}

4

式の簡略化：

Simplify the denominator by finding a common denominator. The (1+r) terms in the numerator and denominator of the main fraction cancel out.

P V = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{( 1 + r ) - ( 1 + g )}{1 + r}} = \frac{C _{1} / ( 1 + r )}{\frac{r - g}{1 + r}}

5

最終的な公式:

これが成長永続年金の現在価値の簡略化された公式であり、ゴードン成長モデルとしても知られている。

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Note: この公式は、割引率 (r) が成長率 (g) より厳密に大きい場合にのみ有効である。

Result

P V = \frac{C _{1}}{r - g}

Source: Brealey, Myers, and Allen, Principles of Corporate Finance, Chapter 2: Present Value and the Opportunity Cost of Capital

Free formulas

Rearrangements

Solve for $C_{1}$

成長付き永続年金の現在価値: C1 を主語にする

C_{1} = P V \cdot (r - g)

$C_{1}$ (期間1のキャッシュフロー) を主語にするには、方程式の両辺に $(r - g)$ を掛けます。

Difficulty: 2/5

Solve for $r$

成長型永久年金の現在価値：rを主語にする

r = \frac{C _{1}}{P V} + g

$r$ （割引率）を主語にするには、まず $(r - g)$ 項を分離し、次に両辺に $g$ を加えます。

Difficulty: 3/5

Solve for $g$

成長型永久年金の現在価値：gを主語にする

g = r - \frac{C _{1}}{P V}

$g$ （成長率）を主語にするには、まず $(r - g)$ 項を分離し、次に $r$ を引いて-1を掛けるか、項を並べ替えます。

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Visual intuition

Graph

グラフは双曲線を形成する。なぜなら割引率が分母に現れるため、割引率が増加するにつれて現在価値が減少するからである。経済学の学生にとって、この形状は高い割引率が将来のキャッシュフローの現在価値を大幅に減少させる一方、非常に小さな割引率は現在価値を急激に上昇させることを示している。この曲線の最も重要な特徴は、現在価値が決してゼロに達しないことであり、高い割引率でも成長するキャッシュフローの無限の流れが正の価値を保持することを反映している。

Graph type: hyperbolic

Why it behaves this way

Intuition

この公式は、将来のキャッシュフローの無限級数を合計したもので、それぞれ 'g' で成長するが 'r' で割り引かれ、正味の効果 (r-g) によって合計が有限の現在価値に収束する。それは、減少するが決して終わらないような

PV

将来のキャッシュフローの無限の流れの現在の貨幣価値。

永久に成長する収入の流れが今日どれだけの価値があるか。PVが高いほど、資産は現在より価値がある。

C_{1}

最初の期間の終わりに受け取られる期待キャッシュフロー。

無限級数における最初の支払い。

C_{1}

が大きいと、直接現在価値が増加する。

r

割引率であり、必要収益率または資本の機会費用を表す。

将来のお金を現在の同等価値に減価する率。'r'が高いと、より高いリスクまたはより良い代替投資を反映して現在価値が減少する。

g

将来のキャッシュフローが成長すると期待される一定の率。

収入の流れが各期間にどれだけ速く増加するか。'g'が高いと、将来の支払いが大きくなるため現在価値が増加する。

Signs and relationships

r - g: 差 'r - g' は正味実効割引率を表す。成長率 'g' は割引率 'r' の影響を減少させ、将来のキャッシュフローを相対的により価値あるものにする。

Free study cues

Insight

Canonical usage

この方程式では、キャッシュフローと現在価値に一貫した貨幣単位、割引率と成長率に一貫した無次元単位（小数）、そしてすべてについて同じ期間が必要です。

Dimension note

割引率（r）と成長率（g）は無次元比であり、計算では通常小数として表されます。現在価値（PV）とキャッシュフロー（ $C_{1}$ ）は貨幣単位で表されます。

One free problem

Practice Problem

ある会社は来年100ドルの配当を支払うと予想され、これらの配当は無期限に5%の一定の割合で成長すると予測されています。この株式の要求収益率が10%の場合、この永久年金の現在価値はいくらですか？

Hint: 割引率が成長率よりも大きいことを確認してください。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

安定した配当を支払う株式の評価において、成長する永久年金の現在価値は、第1期のキャッシュフロー、割引率、成長率から現在価値を計算するために使用されます。結果が重要なのは、文脈の中でインセンティブ、政策効果、市場結果、または財務上の決定を比較するのに役立つからです。

Study smarter

Tips

r > g であることを確認してください。そうでない場合、公式は無限大または負の値となり、モデルが適用できないことを示します。
C1 は現在期間（C0）ではなく、第1期末のキャッシュフローを表します。
r と g はどちらも小数で表してください（例: 5% は 0.05）。
このモデルは一定成長と無限期間を仮定しており、これは強い仮定です。注意して使用し、他の評価方法も検討してください。

Avoid these traps

Common Mistakes

初期キャッシュフローにC1ではなくC0を使用すること。
rがg以下の場合に公式を適用すること。
計算前にrとgのパーセンテージを小数に変換していないこと。

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

一定の成長率で増加する無限のキャッシュフローの現在価値の公式を導出する。

この公式は、無期限にキャッシュフローを生み出すと予想され、これらのキャッシュフローが一定の安定した割合で成長すると予測される資産を評価する際に適用します。公式が意味のある有限の現在価値を生み出すためには、割引率（r）が成長率（g）よりも大きいことが重要です。このモデルは、特に予測可能な成長を伴う成熟企業の株式評価によく使用されます。

この式は、収益を生み出す資産の本質的価値を決定するための理論的枠組みを提供するため、投資家や金融アナリストにとって不可欠です。これは投資判断、資産価格の公正性の評価、評価における成長率と割引率の影響の理解に役立ちます。その応用は、企業財務における資本予算や戦略計画にまで及びます。

初期キャッシュフローにC1ではなくC0を使用すること。 rがg以下の場合に公式を適用すること。計算前にrとgのパーセンテージを小数に変換していないこと。

安定した配当を支払う株式の評価において、成長する永久年金の現在価値は、第1期のキャッシュフロー、割引率、成長率から現在価値を計算するために使用されます。結果が重要なのは、文脈の中でインセンティブ、政策効果、市場結果、または財務上の決定を比較するのに役立つからです。

r > g であることを確認してください。そうでない場合、公式は無限大または負の値となり、モデルが適用できないことを示します。 C1 は現在期間（C0）ではなく、第1期末のキャッシュフローを表します。 r と g はどちらも小数で表してください（例: 5% は 0.05）。このモデルは一定成長と無限期間を仮定しており、これは強い仮定です。注意して使用し、他の評価方法も検討してください。

References

Sources

Brealey, R. A., Myers, S. C., & Allen, F. (2020). Principles of Corporate Finance (13th ed.). McGraw-Hill Education.
Wikipedia: Gordon growth model
Principles of Corporate Finance by Brealey, Myers, Allen
Investments by Bodie, Kane, Marcus
Gordon growth model (Wikipedia article)
Bodie, Zvi, Alex Kane, and Alan J. Marcus. Investments. McGraw-Hill Education.
Brealey, Richard A., Stewart C. Myers, and Franklin Allen. Principles of Corporate Finance. McGraw-Hill Education.
Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, and Jeffrey Jaffe. Corporate Finance. McGraw-Hill Education.

Overview

Variables

Derivation

現在価値を割引キャッシュフローの合計として定義する：

因数分解し、等比級数として認識する：

無限等比級数の和の公式を適用する：

式の簡略化：

最終的な公式:

Rearrangements

Graph

Intuition

Insight

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

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Present Value of a Perpetuity

Dividend Discount Model

Future Value of an Annuity

Frequently Asked Questions

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