Economics消費者選択University

AQAAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

間接効用関数

価格と所得が与えられたとき、消費者が達成できる最大効用を計算する。

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

v (p, m) = x max {U (x) ∣ p \cdot x \leq m}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

間接効用関数（$v(\mathbf{p}, m)$と表記）は、財の価格セット（$\mathbf{p}$）と総所得（$m$）が与えられたときに個人が達成できる最高の効用水準を表します。これは、消費者が予算制約（$\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \le m$）の下で直接効用関数（$U(\mathbf{x})$）を最大化するために消費バンドル（$\mathbf{x}$）を選択する、消費者の効用最大化問題を解くことによって導出されます。この関数は、価格と所得の変化が消費者の厚生にどのように影響するかを分析するために重要です。

When to use: この式は、特定の市場価格と予算が与えられたときに消費者が達成できる最大効用を決定する必要がある場合に使用します。これは、厚生分析、異なる経済条件間での消費者のウェルビーイングの比較、または政策変更（例：税金や補助金）が購買力に与える影響の評価に特に有用です。

Why it matters: 間接効用関数は、消費者行動と厚生を理解するためのミクロ経済学の基礎です。これは市場条件（価格と所得）と消費者の効用との直接的なリンクを提供し、経済学者が需要理論を分析し、補償需要関数を導出し、価格変化の実質所得効果を評価することを可能にします。

Symbols

Variables

$p$ = Price Vector, m = Income, v = Indirect Utility

p

Price Vector

$/unit

m

Income

v

Indirect Utility

utils

Walkthrough

Derivation

公式：間接効用関数

間接効用関数は、消費者の効用最大化問題を解き、最適な消費バンドルを直接効用関数に代入することによって導出される。

消費者は合理的であり、効用を最大化することを目指す。
価格（ $p$ ）と所得（ $m$ ）は外生的で固定されている。
効用関数 $U (x)$ は良好な性質を持つ（例えば、連続、厳密準凹）。
予算制約は拘束的である（消費者はすべての所得を支出する）。

消費者の問題を定義する：

消費者は、価格ベクトル $p$ と所得 $m$ が与えられたときに、消費バンドル $x$ を選択して直接効用 $U (x)$ を最大化しようとする。予算制約は、総支出が所得を超えてはならないことを述べている。

x max U (x) subject to p \cdot x \leq m

マーシャルの需要関数を解く：

効用最大化問題（例えばラグランジュ法を用いて）を解き、最適な消費バンドル $x^{*}$ を見つける。これらの最適な数量はマーシャルの需要関数として知られ、各財の需要を価格と所得の関数として表す。

x^{*} (p, m)

Note: コブ＝ダグラス型効用関数 $U (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{a} x_{2}^{b}$ について、マーシャル需要は $x_{1}^{*} = \frac{a}{a + b} \frac{m}{p _{1}}$ と $x_{2}^{*} = \frac{b}{a + b} \frac{m}{p _{2}}$ です。

需要を効用関数に代入する：

導出されたマーシャル需要関数 $x^{*} (p, m)$ を元の直接効用関数 $U (x)$ に代入します。これにより間接効用関数が得られます。間接効用関数は、達成可能な最大効用を価格と所得のみの関数として表現します。

v (p, m) = U (x^{*} (p, m))

Result

v (p, m) = U (x^{*} (p, m))

Source: Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company, 3rd ed., 1992, Chapter 7.

Why it behaves this way

Intuition

消費者が財空間における予算線で定義された実行可能領域に制約されながら、効用曲面上の最高点を探している状況。

v(p, m)

消費者が達成可能な最大効用

与えられた予算と市場価格の下で消費者が得られる最高の満足度

p

すべての財の市場価格のベクトル

購入可能な各商品のコスト

m

消費者の利用可能な総所得または予算

消費者が支出できる総金額

x

消費バンドルにおける財の数量を表すベクトル

消費者が購入することを選択する特定の商品の組み合わせ。

U(x)

消費バンドルからの満足度を定量化する直接効用関数

特定の財の組み合わせが提供する幸福度の尺度

max

集合内で最大値を見つける数学的操作

絶対的に最良の結果を追求する行為

p \cdot x \leq m

総支出が収入を超えないことを保証する予算制約

支出が利用可能なお金を超えてはならないというルール

Free study cues

Insight

Canonical usage

この方程式には、価格と所得の貨幣単位、財の特定の数量単位、および効用に対する無次元または単位なしの尺度が含まれます。貨幣単位の一貫性が最も重要です。

Dimension note

効用関数（U および v）は本質的に無次元または単位なしであり、物理的測定ではなく選好の順序的または基数的ランキングとして機能します。

One free problem

Practice Problem

消費者は効用関数 $U (x_{1}, x_{2}) = x_{1} x_{2}$ を持っています。財の価格は $p_{1} = 2$ と $p_{2} = 4$ であり、消費者の所得は $m = 100$ です。この消費者の間接効用関数の値を計算してください。

Hint: まず $x_{1}$ と $x_{2}$ のマーシャルの需要関数を見つけ、それらを効用関数に代入してください。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

食品価格の上昇（$\mathbf{p}$の一部）が、固定所得（$m$）を持つ家計の全体的な満足度（効用）にどのように影響するかを評価すること。

Study smarter

Tips

$v (p, m)$ は消費束ではなく、価格と所得の関数であることを覚えておいてください。
Indirect Utility Function は価格に対して非増加で、所得に対して非減少です。
これは価格と所得について 0 次同次です（両方を 2 倍にしても効用は変わりません）。
これを導出するには、まず効用最大化問題を解いて Marshallian demand functions を求め、それらを直接効用関数 $U (x)$ に代入します。
特定の効用関数（例: Cobb-Douglas）では、 $v (p, m)$ の既知の閉形式解があります。

Avoid these traps

Common Mistakes

Indirect Utility Function と Direct Utility Function $U (x)$ を混同してしまうこと。
消費バンドル $x$ を $v (p, m)$ の引数として含めようとすること。
基礎となる効用最大化問題を誤って解き、誤った $v (p, m)$ を導くこと。

Common questions

Frequently Asked Questions

間接効用関数は、消費者の効用最大化問題を解き、最適な消費バンドルを直接効用関数に代入することによって導出される。

この式は、特定の市場価格と予算が与えられたときに消費者が達成できる最大効用を決定する必要がある場合に使用します。これは、厚生分析、異なる経済条件間での消費者のウェルビーイングの比較、または政策変更（例：税金や補助金）が購買力に与える影響の評価に特に有用です。

間接効用関数は、消費者行動と厚生を理解するためのミクロ経済学の基礎です。これは市場条件（価格と所得）と消費者の効用との直接的なリンクを提供し、経済学者が需要理論を分析し、補償需要関数を導出し、価格変化の実質所得効果を評価することを可能にします。

Indirect Utility Function と Direct Utility Function $U(\mathbf{x})$ を混同してしまうこと。消費バンドル$\mathbf{x}$を$v(\mathbf{p}, m)$の引数として含めようとすること。基礎となる効用最大化問題を誤って解き、誤った$v(\mathbf{p}, m)$を導くこと。

食品価格の上昇（$\mathbf{p}$の一部）が、固定所得（$m$）を持つ家計の全体的な満足度（効用）にどのように影響するかを評価すること。

$v(\mathbf{p}, m)$ は消費束ではなく、価格と所得の関数であることを覚えておいてください。 Indirect Utility Function は価格に対して非増加で、所得に対して非減少です。これは価格と所得について 0 次同次です（両方を 2 倍にしても効用は変わりません）。これを導出するには、まず効用最大化問題を解いて Marshallian demand functions を求め、それらを直接効用関数 $U(\mathbf{x})$ に代入します。特定の効用関数（例: Cobb-Douglas）では、$v(\mathbf{p}, m)$ の既知の閉形式解があります。

References

Sources

Microeconomic Theory by Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green
Microeconomics by Hal R. Varian
Wikipedia: Indirect utility function
Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. 3rd ed. W. W. Norton & Company, 1992.
Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995.
Hal R. Varian, Microeconomic Analysis
Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green, Microeconomic Theory
Varian, Hal R. Microeconomic Analysis. W. W. Norton & Company, 3rd ed., 1992, Chapter 7.