Mathematicsरैखिक बीजगणितUniversity
OCRAPOntarioNSWCBSEGCE O-LevelMoECAPS

मैट्रिक्स ट्रेस Calculator

एक वर्ग मैट्रिक्स के विकर्ण तत्वों का योग, जो उसके आइगेनमानों के योग के बराबर भी होता है।

Use the free calculatorCheck the variablesOpen the advanced solver
Open Advanced Calculator
This is the free calculator preview. Advanced walkthroughs stay in the app.
Result
Ready
Matrix Trace

Formula first

Overview

एक वर्ग मैट्रिक्स का ट्रेस वह अदिश मान है जिसे उसके मुख्य विकर्ण के तत्वों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। यह रैखिक बीजगणित में एक मौलिक ऑपरेटर है जो मैट्रिक्स के आइगेनमानों के योग के बराबर है और समानता परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय रहता है।

Symbols

Variables

tr(A) = Matrix Trace, = Diagonal Element a11, = Diagonal Element a22

tr(A)
Matrix Trace
The sum of the diagonal elements
Diagonal Element a11
The first element on the main diagonal
Diagonal Element a22
The second element on the main diagonal

Apply it well

When To Use

When to use: ट्रेस का उपयोग तब करें जब आपको आइगेनमानों के योग की गणना करने या रैखिक परिवर्तन के अपरिवर्तनीय गुणों की पहचान करने की आवश्यकता हो। इसका उपयोग दो मैट्रिक्स के आंतरिक गुणनफल की गणना करते समय या टेंसर कलन में सदिश क्षेत्र के विचलन का विश्लेषण करते समय भी किया जाता है।

Why it matters: ट्रेस महत्वपूर्ण है क्योंकि यह जटिल मैट्रिक्स संचालन को एक एकल अदिश में सरल करता है जो प्रणाली के बारे में आवश्यक जानकारी को पकड़ता है। भौतिकी में, इसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में अपेक्षा मान खोजने और ऊष्मप्रवैगिकी में विभाजन फलन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

Avoid these traps

Common Mistakes

  • एक गैर-वर्ग मैट्रिक्स के लिए ट्रेस की गणना करने का प्रयास करना।
  • यह मानना कि tr(ABC) = tr(ACB); केवल चक्रीय क्रमपरिवर्तन जैसे tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) की गारंटी होती है।
  • ट्रेस को निर्धारक के साथ भ्रमित करना।

One free problem

Practice Problem

एक 2×2 वर्ग मैट्रिक्स A के विकर्ण तत्व a₁₁ = x और a₂₂ = y हैं। मैट्रिक्स A के ट्रेस (परिणाम) की गणना करें।

Hint: ट्रेस ऊपर-बाएं से नीचे-दाएं तक मुख्य विकर्ण पर स्थित संख्याओं को जोड़कर पाया जाता है।

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

References

Sources

  1. Linear Algebra and Its Applications by Gilbert Strang
  2. Wikipedia: Trace (linear algebra)
  3. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2007). Transport Phenomena (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  4. Callen, Herbert B. (1985). Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2nd ed.). John Wiley & Sons.
  5. Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2016.
  6. Trace (linear algebra). Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)
  7. Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.