ホール・ペッチの式

Core idea

Overview

ホール・ペッチの式について、主要な入力値と式の関係を整理し、計算結果の意味を解釈するための説明です。条件、単位、前提を確認しながら使うことで、結果を比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけやすくなります。必要に応じて値を変え、結果の変化も確認してください。

When to use: ホール・ペッチの式は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

Why it matters: ホール・ペッチの式の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

Symbols

Variables

$σ_{y}$ = Yield Strength, $σ_{0}$ = Friction Stress, $k_{y}$ = Locking Parameter, d = Average Grain Diameter

σ_{y}

Yield Strength

MPa

σ_{0}

Friction Stress

MPa

k_{y}

Locking Parameter

M P a m

d

Average Grain Diameter

m

Walkthrough

Derivation

Hall-Petch方程式の導出/理解

この導出は、粒界が転位運動の障壁として機能し、応力集中を引き起こし、材料の降伏強度とその平均結晶粒径との間の逆平方根関係を決定することを説明しています。

粒界は転位運動に対して強固で貫通不可能な障壁として機能します。
降伏は、粒界での転位の堆積による応力集中が隣接する結晶粒内で新しい転位源を活性化するのに十分な場合に発生します。
材料は多結晶であり、比較的均一な平均結晶粒径を持ちます。

1

転位の移動と粒界：

結晶材料において、塑性変形は主に転位の移動によって担われる。粒界は転位移動に対する大きな障害として機能し、変形を粒界越しに伝播させるためにより高い応力を必要とする。

Plastic deformation occurs via dislocation motion. Grain boundaries impede this motion.

2

転位パイルアップによる応力集中：

加えられたせん断応力( $τ_{a ppl i e d}$ )の下で、結晶粒内のすべり面上を移動する転位は粒界にパイルアップする。'n'個の転位からなるこのパイルアップは、その先頭に局所的な応力集中( $τ_{l oc a l}$ )を生じさせる。

τ_{l oc a l} \propto n τ_{a ppl i e d}

3

すべり伝達の臨界応力：

塑性変形を継続させるためには、パイルアップ先端の局所応力が臨界値( $τ_{i}$ )に達しなければならない。この臨界応力は、隣接結晶粒内で新たな転位源を活性化するか、転位を粒界通過させるために必要である。

τ_{l oc a l} = τ_{i}

4

Hall-Petch式の導出：

転位パイルアップ先端の応力は、印加応力の二乗と結晶粒径に比例する。これをすべり伝達の臨界応力と等置すると、印加せん断応力の結晶粒径に対する逆平方根依存性が得られる。格子摩擦応力( $τ_{0}$ )を加え、垂直応力に変換するとHall-Petch式が得られる。

From dislocation theory, for a pile-up of length d (grain size): τ_{l oc a l} \propto τ_{a ppl i e d}^{2} d Setting τ_{l oc a l} = τ_{i} (critical stress): τ_{a ppl i e d}^{2} d \propto τ_{i} ⟹ τ_{a ppl i e d} \propto \frac{τ _{i}}{d} Total yield shear stress: τ_{y} = τ_{0} + τ_{a ppl i e d} τ_{y} = τ_{0} + \frac{k ^{'}}{d} Converting to normal stress (σ_{y} \approx M τ_{y}): σ_{y} = σ_{0} + \frac{k _{y}}{d}

Result

From dislocation theory, for a pile-up of length d (grain size): τ_{l oc a l} \propto τ_{a ppl i e d}^{2} d Setting τ_{l oc a l} = τ_{i} (critical stress): τ_{a ppl i e d}^{2} d \propto τ_{i} ⟹ τ_{a ppl i e d} \propto \frac{τ _{i}}{d} Total yield shear stress: τ_{y} = τ_{0} + τ_{a ppl i e d} τ_{y} = τ_{0} + \frac{k ^{'}}{d} Converting to normal stress (σ_{y} \approx M τ_{y}): σ_{y} = σ_{0} + \frac{k _{y}}{d}

Source: Callister, W. D., & Rethwisch, D. G. (2018). Materials Science and Engineering: An Introduction (10th ed.). John Wiley & Sons.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $σ_{0}$

sigma_0 について解く

σ_{0} = σ_{y} - \frac{k _{y}}{d}

sigma_0 に対して決定的に生成された正確な記号式の再配列。

Difficulty: 4/5

Solve for $k_{y}$

$k_{y}$ について解く

k_{y} = d (σ_{y} - σ_{0})

$k_{y}$ に対して決定論的に生成された厳密な記号再配置。

Difficulty: 4/5

Solve for $d$

dを主語にする

d = \frac{k _{y}^{2}}{( σ _{y} - σ _{0} ) ^{2}}

d に対して決定論的に生成された厳密な記号再配置。

Difficulty: 3/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

材料中を転位（線欠陥）が移動し、粒界を物理的障壁として遭遇する様子を想像してください。粒が小さいほど障壁が頻繁になり、転位がパイルアップし、より大きな応力が必要になります。

σ_{y}

材料が永久的な塑性変形を開始する応力。

負荷下での永久形状変化に対する材料の抵抗を表す。

σ_{0}

粒界に依存しない、単結晶格子内での転位運動に対する固有の抵抗。

粒界による強化効果がない場合の材料の「基本」強度。

k_{y}

転位移動を妨げる粒界の有効性を定量化する材料固有の定数。

結晶粒径の減少に対してどれだけ追加の強度が得られるか。値が高いほど粒微細化の効果が強いことを意味する。

d

多結晶材料内の結晶粒の平均直径。

材料の内部結晶構造の細かさまたは粗さの尺度。

Signs and relationships

+: 項 $k_{y}$ / $d$ は、粒界からの強化寄与を表し、これは固有の格子摩擦応力 $σ_{0}$ に加算されて全降伏強度を決定する。
1/√(d): 粒径 d に対する逆平方根依存性は、粒径が小さくなるにつれて降伏強度が増加することを示している。これは、粒が小さいほど単位体積あたりの粒界が多くなり、それらがより多くの

Free study cues

Insight

Canonical usage

この式は通常、応力をメガパスカル (MPa)、結晶粒径をミリメートルまたはマイクロメートルで用いて計算され、それに応じて強化係数を調整する必要があります。

Dimension note

この式は無次元ではありません。長さ次元の逆平方根に依存しています。

Ballpark figures

Quantity:

One free problem

Practice Problem

次の条件を使って、ホール・ペッチの式を求めてください。必要な値を式に代入し、単位と桁数を確認して答えてください。条件: 50 MPa, 0.7 MPa, 0.1 mm, 0.0001 m。

Hint: ホール・ペッチの式の式に既知の値を代入し、単位、符号、分母と分子の対応を確認しながら計算してください。問題文で与えられた条件を先に整理すると解きやすくなります。

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

ホール・ペッチの式は、実務、学習、分析の場面で具体的な値を代入して結果を確認するときに使えます。計算結果を単なる数値として扱うのではなく、条件の比較、判断、見積もり、リスク確認に結びつけて解釈するのに役立ちます。

Study smarter

Tips

ロッキングパラメータ ' $k_{y}$ ' が MPa·m¹/² のような SI 単位で与えられている場合、粒径 'd' をメートルへ変換してください。
パラメータ 'sigma_0' は摩擦応力、または転位移動に対する結晶格子の抵抗を表します。
粒径が約10から30ナノメートル未満になると材料が軟化する 'inverse Hall-Petch' 効果に注意してください。

Avoid these traps

Common Mistakes

粒径項の平方根を無視すること。
関係がしばしば逆転するナノメートルスケールの粒子(約10nm以下)に公式を使用すること。
摩擦応力（sigma_0）を引張強さと混同してしまうこと。

Keep going

Related Formulas

Common questions

Frequently Asked Questions

この導出は、粒界が転位運動の障壁として機能し、応力集中を引き起こし、材料の降伏強度とその平均結晶粒径との間の逆平方根関係を決定することを説明しています。

ホール・ペッチの式は、与えられた値から必要な結果を求めたいときに使います。入力の単位、範囲、前提条件を確認してから代入し、計算結果を現実の条件や問題文の目的と照らし合わせてください。

ホール・ペッチの式の結果は、数値を比較し、傾向、制約、リスク、設計上の判断を説明するために役立ちます。答えを単独の数値として扱わず、条件が変わったときの意味や妥当性も確認できます。

粒径項の平方根を無視すること。関係がしばしば逆転するナノメートルスケールの粒子(約10nm以下)に公式を使用すること。摩擦応力（sigma_0）を引張強さと混同してしまうこと。