球面調和関数
剛体回転子と原子軌道に使用される角度関数を定義する。
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Core idea
Overview
球面調和関数は L^2 と Lz の同時固有関数であり、したがって l と m の量子数を持つ。
When to use: 剛体回転子や原子軌道に用いられる角度関数を定義する。
Why it matters: 球面調和関数は L^2 と Lz の同時固有関数であり、したがって l と m の量子数を持つ。
Walkthrough
Derivation
球面調和関数の導出
剛体回転子と原子軌道に使用される角度関数を定義する。
- 記号は、このトピックの標準的な量子化学の慣例に従う。
- 式は、項目で指定されたモデル内で使用される。
モデルから開始する
表示された関係を規則、定義、または演算子の記述として解釈する。
物理的な部分を特定する
Spherical harmonics are simultaneous eigenfunctions of and Lz, so they carry the l and m quantum numbers.
結果を慎重に使用する
式はモデルの仮定が満たされている場合にのみ適用してください。
Result
Source: Chemistry LibreTexts, Rotational Motions of Rigid Molecules; Chemistry LibreTexts, Selection Rule for the Rigid Rotator
Why it behaves this way
Intuition
Spherical harmonics are simultaneous eigenfunctions of and Lz, so they carry the l and m quantum numbers.
Signs and relationships
- 正の項: 正の項は通常、運動エネルギー、障壁、または大きさを表します。
- 負の項: 負の項は通常、引力相互作用や存在するときのエネルギー低下を表します。
One free problem
Practice Problem
l = 2 の場合、どのような m の値が許容されるか？
Hint: 式が物理的に何を伝えているかに焦点を当ててください。
The full worked solution stays in the interactive walkthrough.
Where it shows up
Real-World Context
原子軌道モデルでは、おなじみの p 軌道の角度形状は l = 1 の球面調和関数から構成される。球面調和関数は測定値から $Y_l^m(\theta, \phi)$ を計算するために用いられる。この結果は、角度波動関数の形状を量子数や軌道の振る舞いと結びつけるのに役立つため重要である。
Study smarter
Tips
- l は全体の角度形状を制御します。
- m は z 軸射影と phi 依存性を制御します。
Avoid these traps
Common Mistakes
- m が -l <= m <= l を満たさなければならないことを忘れること。
- 球面調和関数と動径波動関数を混同すること。
Common questions
Frequently Asked Questions
剛体回転子と原子軌道に使用される角度関数を定義する。
剛体回転子や原子軌道に用いられる角度関数を定義する。
球面調和関数は L^2 と Lz の同時固有関数であり、したがって l と m の量子数を持つ。
m が -l <= m <= l を満たさなければならないことを忘れること。 球面調和関数と動径波動関数を混同すること。
原子軌道モデルでは、おなじみの p 軌道の角度形状は l = 1 の球面調和関数から構成される。球面調和関数は測定値から $Y_l^m(\theta, \phi)$ を計算するために用いられる。この結果は、角度波動関数の形状を量子数や軌道の振る舞いと結びつけるのに役立つため重要である。
l は全体の角度形状を制御します。 m は z 軸射影と phi 依存性を制御します。
References
Sources
- Chemistry LibreTexts, Rotational Motions of Rigid Molecules; Chemistry LibreTexts, Selection Rule for the Rigid Rotator
- Chemistry LibreTexts, Rotational Motions of Rigid Molecules
- Chemistry LibreTexts, Selection Rule for the Rigid Rotator
- Wikipedia: Spherical harmonics
- NIST CODATA: Fundamental Physical Constants
- Griffiths, David J. (2018). Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.
- Wikipedia, "Spherical harmonics"