MathematicsÇıkarımsal İstatistikUniversity

İki Örneklem t-İstatistik (Bağımsız Örneklemler)

Q: What are common mistakes with the İki Örneklem t-İstatistik (Bağımsız Örneklemler) formula?

Örneklem boyutları veya dağılımları önemli ölçüde farklı olduğunda eşit varyanslar varsaymak. Örneklemlerin gerçekten bağımsız olduğunu doğrulamayı unutmak (örn. eşleştirilmiş verilerde kullanmak). Standart birleştirilmiş varyans formülü yerine birleştirilmemiş versiyonu kullanmak.

Bu istatistik, popülasyon varyansları bilinmediğinde iki bağımsız grup arasındaki ortalama farkının istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını belirler.

Understand the formulaSee the free derivationOpen the full walkthrough

t = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

Open Full Walkthrough Try Calculator

This public page keeps the free explanation visible and leaves premium worked solving, advanced walkthroughs, and saved study tools inside the app.

Core idea

Overview

Welch'in t-testi olarak da bilinen bu formül, eşit olmayan varyanslar varsayımı altında iki bağımsız örneklemin ortalamalarını karşılaştırmak için kullanılır. Örneklem ortalamalarının gözlemlenen farkı ile standart hata birimlerindeki varsayılan popülasyon farkı arasındaki mesafeyi ölçer. Ortaya çıkan t-değeri daha sonra bir t-dağılımına karşı karşılaştırılarak p-değeri belirlenir.

When to use: Popülasyon standart sapmaları bilinmediğinde ve eşit varyanslar varsayılamadığında iki bağımsız grubun ortalamalarını karşılaştırırken bu testi kullanın.

Why it matters: Bilimsel araştırmalarda ve A/B testlerinde temel bir araçtır, varyans homojenliği varsayımı olmadan sınırlı örneklem verilerinden popülasyon farklılıklarını çıkarmaya olanak tanır.

Symbols

Variables

t = t-statistic, $\overset{x}{ˉ}$ _1 = Mean of sample 1, $\overset{x}{ˉ}$ _2 = Mean of sample 2, $s_{1}^{2}$ = Variance of sample 1, $s_{2}^{2}$ = Variance of sample 2

t

t-statistic

Variable

\overset{x}{ˉ}_{1}

Mean of sample 1

Variable

\overset{x}{ˉ}_{2}

Mean of sample 2

Variable

s_{1}^{2}

Variance of sample 1

Variable

s_{2}^{2}

Variance of sample 2

Variable

n_{1}

Size of sample 1

Variable

n_{2}

Size of sample 2

Variable

diff

Hypothesized difference

Variable

Walkthrough

Derivation

İki Örneklemli t-Testi İstatistiğinin Türetilmesi (Bağımsız Örneklemler)

Bu türetme, iki örneklem ortalaması arasındaki farkı standartlaştırarak t-dağılımını izleyen bir test istatistiği oluşturmak için örnekleme dağılımlarının özelliklerinden yararlanır.

İki örneklem birbirinden bağımsızdır.
Örneklemlerin alındığı popülasyonlar yaklaşık olarak normal dağılmıştır.
Popülasyon varyansları bilinmemektedir; bu nedenle örneklem varyanslarının tahmin olarak kullanılması gerekir.

Ortalamalar Arasındaki Farkın Örnekleme Dağılımını Tanımlama

Bağımsız normal popülasyonların örneklem ortalamaları kendileri de normal dağıldığından, bu ortalamaların farkı, popülasyon ortalamalarının farkı merkezli ve birleşik varyansa sahip bir normal dağılım izler.

(\overset{x}{ˉ}_{1} - \overset{x}{ˉ}_{2}) \sim N (μ_{1} - μ_{2}, \frac{σ _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{σ _{2}^{2}}{n _{2}})

Note: İki bağımsız değişkenin farkının varyansı, bu değişkenlerin bireysel varyanslarının toplamıdır.

Standardizasyon (Z-puanı)

Örneklem ortalamaları arasındaki farkı, beklenen değeri çıkarıp standart hataya bölerek standart normal bir değişkene dönüştürürüz.

Z = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{σ _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{σ _{2}^{2}}{n _{2}}} \sim N (0, 1)

Note: Bu adım, genellikle bilinmeyen popülasyon varyanslarının bilinmesini gerektirir.

Örneklem Varyanslarının Yerine Koyulması

Popülasyon varyansları bilinmediği için bunların yerine örneklem varyansları $s_{1}^{2}$ ve $s_{2}^{2}$ kullanılır. Bu yerine koyma, Z-dağılımını t-dağılımına dönüştürür.

t = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

Note: Varyansların eşit olmadığı varsayıldığında bu Welch t-testi olarak bilinir; serbestlik dereceleri Welch-Satterthwaite denklemiyle yaklaşık olarak hesaplanır.

Result

t = \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{\frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

Source: Welch, B. L. (1947). 'The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved'.

Free formulas

Rearrangements

Solve for $\overset{x}{ˉ}_{1}$

$\overset{x}{ˉ}$ _1 değişkenini yalnız bırak

\overset{x}{ˉ}_{1} = t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}} + \overset{x}{ˉ}_{2} + (μ_{1} - μ_{2})

Denklemi $\overset{x}{ˉ}$ _1 değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 3/5

Solve for $\overset{x}{ˉ}_{2}$

$\overset{x}{ˉ}$ _2 değişkenini yalnız bırak

\overset{x}{ˉ}_{2} = \overset{x}{ˉ}_{1} - (μ_{1} - μ_{2}) - t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}

Denklemi bar_ $x_{2}$ değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 3/5

Solve for $μ_{1}$

$μ_{1}$ değişkenini yalnız bırak

μ_{1} = (\overset{x}{ˉ}_{1} - \overset{x}{ˉ}_{2}) - t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}} + μ_{2}

Denklemi $μ_{1}$ değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 3/5

Solve for $μ_{2}$

$μ_{2}$ değişkenini yalnız bırak

μ_{2} = μ_{1} - (\overset{x}{ˉ}_{1} - \overset{x}{ˉ}_{2}) + t \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}

Denklemi $μ_{2}$ değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 3/5

Solve for $s_{1}$

$s_{1}$ değişkenini yalnız bırak

s_{1} = n_{1} ([\frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t}]^{2} - \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}})

Denklemi $s_{1}$ değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 5/5

Solve for $s_{2}$

$s_{2}$ değişkenini yalnız bırak

s_{2} = n_{2} ([\frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t}]^{2} - \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}})

İkinci örnek varyans terimini $s_{1}$ 'ye benzer adımlarla yalnız bırakın.

Difficulty: 5/5

Solve for $n_{1}$

$n_{1}$ değişkenini yalnız bırak

n_{1} = \frac{s _{1}^{2}}{[ \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t} ] ^{2} - \frac{s _{2}^{2}}{n _{2}}}

Denklemi $n_{1}$ değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 5/5

Solve for $n_{2}$

$n_{2}$ değişkenini yalnız bırak

n_{2} = \frac{s _{2}^{2}}{[ \frac{( x ˉ _{1} - x ˉ _{2} ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{t} ] ^{2} - \frac{s _{1}^{2}}{n _{1}}}

Denklemi $n_{2}$ değişkenini yalnız bırakacak şekilde yeniden düzenle.

Difficulty: 5/5

The static page shows the finished rearrangements. The app keeps the full worked algebra walkthrough.

Why it behaves this way

Intuition

Bir sayı doğrusu üzerinde duran iki ayrı çan biçimli olasılık dağılımı hayal edin. Pay, bu dağılımların tepe noktaları (merkezleri) arasındaki fiziksel mesafeyi ölçer. Payda, iki dağılımın yayılımına (belirsizlik/varyans) göre küçülen veya büyüyen bir 'cetvel' gibi davranır; t-istatistiği ise iki tepenin kaç 'cetvel uzunluğu' kadar ayrıldığını gösterir.

Term

t-statistic

Bir sinyal-gürültü oranıdır: gözlenen farkın varsayılan farktan kaç standart hata uzakta olduğunu söyler.

Term

Örneklem ortalamalarındaki fark

İki grubun ortalama sonuçları arasındaki 'sinyal' veya ham gözlenen fark.

Term

Popülasyon ortalamalarındaki varsayılan fark

'Sıfır temel çizgisi'; genellikle sıfırdır ve gruplar arasında gerçek bir fark olmadığı varsayımını temsil eder.

Term

Karelenmiş standart hataların toplamı

Tahminimizdeki toplam 'gürültü' veya belirsizliktir; her grubun ne kadar değiştiğini (s²), elimizdeki veri noktası sayısına (n) göre ölçekleyerek birleştirir.

Signs and relationships

x̄₁ - x̄₂: Çıkarma işlemi farkın yönünü tanımlar; pozitif sonuç birinci grubun ortalamasının daha yüksek olduğunu, negatif sonuç ise ikinci grubun daha yüksek olduğunu gösterir.
Paydanın karekökü: Standart sapmalar yerine varyansları (s²/n) toplarız, çünkü varyanslar toplanabilir; karekök almak toplam varyansı tekrar ortalamayla aynı birimlere, yani standart hataya dönüştürür.

One free problem

Practice Problem

İki grup test edilmiştir. Grup 1: ortalama=50, $s^{2}$ =10, n=20. Grup 2: ortalama=45, $s^{2}$ =12, n=25. Varsayılan fark (mu1-mu2) 0 ise, t-istatistiği nedir?

Hint: Paydayı s1^2/n1 ve s2^2/n2'yi toplayarak hesaplayın, sonra sonucun karekökünü alın.

The full worked solution stays in the interactive walkthrough.

Where it shows up

Real-World Context

Bir tıp araştırmacısı, yeni bir ilacı kullanan hastaların ortalama iyileşme süresini, ilacın iyileşmeyi önemli ölçüde etkileyip etkilemediğini görmek için bir plasebo grubuyla karşılaştırır.

Study smarter

Tips

Örneklem boyutları küçükse (n < 30) her zaman normallik kontrolü yapın.
Bu test için serbestlik derecelerini hesaplamak için Welch-Satterthwaite denklemini kullanın.
Örneklemlerin bağımsız olduğundan emin olun, yani bir denek seçimi diğerinin seçimini etkilemez.

Avoid these traps

Common Mistakes

Örneklem boyutları veya dağılımları önemli ölçüde farklı olduğunda eşit varyanslar varsaymak.
Örneklemlerin gerçekten bağımsız olduğunu doğrulamayı unutmak (örn. eşleştirilmiş verilerde kullanmak).
Standart birleştirilmiş varyans formülü yerine birleştirilmemiş versiyonu kullanmak.

Common questions

Frequently Asked Questions

Popülasyon standart sapmaları bilinmediğinde ve eşit varyanslar varsayılamadığında iki bağımsız grubun ortalamalarını karşılaştırırken bu testi kullanın.

Bilimsel araştırmalarda ve A/B testlerinde temel bir araçtır, varyans homojenliği varsayımı olmadan sınırlı örneklem verilerinden popülasyon farklılıklarını çıkarmaya olanak tanır.

Örneklem boyutları veya dağılımları önemli ölçüde farklı olduğunda eşit varyanslar varsaymak. Örneklemlerin gerçekten bağımsız olduğunu doğrulamayı unutmak (örn. eşleştirilmiş verilerde kullanmak). Standart birleştirilmiş varyans formülü yerine birleştirilmemiş versiyonu kullanmak.

Örneklem boyutları küçükse (n < 30) her zaman normallik kontrolü yapın. Bu test için serbestlik derecelerini hesaplamak için Welch-Satterthwaite denklemini kullanın. Örneklemlerin bağımsız olduğundan emin olun, yani bir denek seçimi diğerinin seçimini etkilemez.

References

Sources

Rice, J. A. (2006). Mathematical Statistics and Data Analysis.
Welch, B. L. (1947). The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved.
Welch, B. L. (1947). 'The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved'.

İki Örneklem t-İstatistik (Bağımsız Örneklemler)

Overview

Variables

Derivation

Ortalamalar Arasındaki Farkın Örnekleme Dağılımını Tanımlama

Standardizasyon (Z-puanı)

Örneklem Varyanslarının Yerine Koyulması

Rearrangements

Intuition

Practice Problem

Real-World Context

Tips

Common Mistakes

Related Formulas

One-Sample t-Test

Pooled Two-Sample t-Test

Frequently Asked Questions

Sources